nebilme, EBO
4. 2624- AYT
2r tw’
a bir rakam olmak üzere 25! sayısının 23!-a sayısına
bölümünden kalan 60 olduğuna göre a kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
a bir rakam olmak üzere 25! sayısının 23! - a sayısına bölümünden kalan
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bölme algoritmasına göre bir P(x) sayısının (x - a) ile bölümünden kalan P(a) değerine eşittir. Bu soruda 23! ifadesini bir değişken (örneğin x) gibi düşünerek kalanı bulabiliriz.
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Değişken Tanımlama
Bölünen sayı 25! ifadesini, bölen sayı olan 23! - a cinsinden yazalım. Bunun için 23! = x diyelim.
Bu durumda bölen sayı: x - a olur.
Adım 2 — Bölünen Sayıyı Düzenleme
25! sayısını 23! cinsinden açalım:
25! = 25 \times 24 \times 23!
23! = x demiştik, o halde bölünen sayı: 25 \times 24 \times x = 600x olur.
Adım 3 — Kalan Bulma Kuralını Uygulama
600x sayısının (x - a) ile bölümünden kalanı bulmak için x yerine a yazarız.
Kalan = 600 \times a = 600a
Adım 4 — Verilen Kalan ile Eşitleme
Soruda kalan 60^2 olarak verilmiştir.
600a = 60^2
600a = 3600
Adım 5 — Bilinmeyeni Hesaplama
Eşitliğin her iki tarafını 600’e bölelim:
a = \frac{3600}{600}
a = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] E) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Faktöriyel Açınımı
- [Tanım:] n! = n \times (n-1) \times (n-2)! şeklinde geriye doğru açılabilir.
- [Bu problemde:] 25! sayısını bölenin içinde bulunan 23! terimine benzetmek için kullandık.
2. Kalan Teoremi
- [Tanım:] Bir ifadenin (x-a) ile bölümünden kalan, o ifadede x yerine a yazılarak bulunur.
- [Bu problemde:] 23! ifadesine x diyerek karmaşık görünen faktöriyel işlemini basit bir bölme problemine dönüştürdük.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Kalanı Yanlış Yorumlamak
- [Yanlış:] 60^2 ifadesini doğrudan 60 olarak almak.
- [Doğru:] 60^2 = 60 \times 60 = 3600 işlemini tam yapmak.
- [Neden yanlış:] İşlem hatası sorunun yanlış şıkkına yönlendirebilir.
Bu çözümde kullandığımız “değişken değiştirme” yöntemini diğer faktöriyel sorularında da kullanmamı ister misin?