A bir gerçel sayı olmak üzere,

YKS TYT
1

a bir gerçel sayı olmak üzere,
(25 - x^2) \cdot (x^2 - ax + 9) \geq 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi [-5, 5] aralığıdır.
Buna göre a’nın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15

a bir gerçel sayı olmak üzere, (25 - x²) · (x² - ax + 9) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm...
a bir gerçel sayı olmak üzere, (25 - x²) · (x² - ax + 9) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm...1024×768 172 KB

2

İkinci Dereceden Eşitsizliklerde Çözüm Kümesi ve Diskriminant Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İkinci dereceden bir f(x) = x^2 - ax + 9 ifadesinin tüm gerçel sayılarda daima sıfırdan büyük veya eşit (f(x) \ge 0) olması için başkatsayı pozitif (1 > 0) ve diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması gerekir (\Delta = b^2 - 4ac \le 0).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Çarpanların İşaret Durumunu İnceleme
Verilen eşitsizlik (25 - x^2) \cdot (x^2 - ax + 9) \ge 0 şeklindedir.

  • 25 - x^2 \ge 0 ifadesinin kökleri x = -5 ve x = 5 olup, [-5, 5] kapalı aralığında pozitif veya sıfır, bu aralığın dışında ise negatiftir.
  • Eşitsizliğin çözüm kümesinin tam olarak [-5, 5] aralığı kalabilmesi için, ikinci çarpan olan Q(x) = x^2 - ax + 9 ifadesinin hiçbir yerde negatif değer almaması gerekir:
    • Eğer Q(x), [-5, 5] içinde negatif olsaydı, o noktalarda çarpım negatif olur ve aralıkta delik oluşurdu.
    • Eğer Q(x), [-5, 5] dışında negatif olsaydı, (-) \cdot (-) = (+) olacağından aralık dışındaki noktalar da çözüm kümesine dahil olurdu.

Adım 2 — Diskriminant Şartını Uygulama
Q(x) = x^2 - ax + 9 \ge 0 eşitsizliğinin her x \in \mathbb{R} için sağlanması için diskriminant sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır:

\Delta \le 0
(-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \le 0
a^2 - 36 \le 0 \implies a^2 \le 36

Buradan:

-6 \le a \le 6

elde edilir.

Adım 3 — a Tam Sayı Değerlerini Sayma
a = 6 ve a = -6 durumlarında oluşan çift katlı kökler (x = 3 ve x = -3) zaten [-5, 5] aralığının içinde kaldığından aralığı bozmaz. Bu aralıktaki tam sayılar:

-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
\text{Terim Sayısı} = 6 - (-6) + 1 = 13 \text{ tanedir.}

:white_check_mark: CEVAP: D) 13 (a \in \{-6, \dots, 6\})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çoğu öğrenci \Delta < 0 alarak sınır değerler olan -6 ve 6’yı unutur ve 11 cevabına (C seçeneği çeldiricisi) düşer. Çift katlı kök (\Delta = 0) aralığın içinde yer aldığında işaret değişimine sebep olmadığı için çözüm kümesini değiştirmez; bu nedenle \Delta \le 0 alınmalıdır.