a bir gerçel sayı olmak üzere, dik koordinat düzleminde ikinci dereceden gerçel katsayılı f(x) polinomunun grafiği şekilde gösterilmiştir.
Buna göre f(x) polinomunun başkatsayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
İkinci Dereceden f(x) Polinomunun Grafiğine Göre Başkatsayısının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Tepe noktası T(r, k) olan ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) denklemi:
f(x) = m(x - r)^2 + k
formülü ile yazılır. Burada m ifadesi polinomun başkatsayısıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tepe Noktasını Belirleme
Grafik incelendiğinde parabolün tepe noktasının koordinatları verilmiştir:
- r = a
- k = a^2
- Tepe noktası: T(a, a^2)
Adım 2 — Fonksiyon Denklemini Kurma
Başkatsayımıza m dersek, tepe noktası bilinen parabol denkleminde r ve k değerlerini yerine yazalım:
f(x) = m(x - a)^2 + a^2
Adım 3 — y Eksenini Kestiği Noktayı Kullanma
Grafiğe göre parabol, y eksenini (0, 4a^2) noktasında kesmektedir. Yani x = 0 için f(0) = 4a^2 olmalıdır:
f(0) = m(0 - a)^2 + a^2 = 4a^2
m \cdot (-a)^2 + a^2 = 4a^2
m \cdot a^2 + a^2 = 4a^2
Adım 4 — Başkatsayıyı (m) Hesaplama
Eşitliğin her iki tarafından a^2 çıkaralım:
m \cdot a^2 = 3a^2
Grafikten görüldüğü üzere a \neq 0 olduğundan, her iki tarafı a^2 ifadesine bölebiliriz:
m = 3
Buradan f(x) polinomunun başkatsayısı 3 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parabolün Tepe Noktası Formu
- Tanım: T(r, k) tepe noktası bilindiğinde parabol denklemi f(x) = a_{baş}(x - r)^2 + k şeklinde kurulur.
- Bu problemde: r = a ve k = a^2 değerleri doğrudan formüle yerleştirilerek denklem oluşturulmuştur.
2. y Eksenini Kestiği Nokta
- Tanım: Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın apsisi daima x = 0’dır.
- Bu problemde: x = 0 yazılarak bilinmeyen başkatsayı m tek değişkene bağlı olarak çözülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sorudaki a parametresini başkatsayı kabul etmek
- Yanlış: Denklemdeki a harfini doğrudan başkatsayı sanıp f(x) = a(x - a)^2 + a^2 şeklinde yazmak.
- Doğru: Soruda a bir parametredir; başkatsayıya m veya farklı bir değişken ismi vererek denklemi kurmak gerekir.
- Neden yanlış: Sorudaki a harfi tepe noktasının apsisidir, polinomun başkatsayısı olmak zorunda değildir.
Parabol grafikleri ve tepe noktası dönüşümleri ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?