a bir doğal sayı olmak üzere
a+5
a+1
ifadesinin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri
vardır?
A) 3
B) 1
C) 4
D) 5
E) 2
\frac{a+5}{a+1} İfadesinin Alabileceği Farklı Doğal Sayı Değerlerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Rasyonel bir cebirsel ifadeyi tam sayılı kesir biçiminde ayırmak için pay, payda cinsinden yazılır:
\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}
İfadenin bir doğal sayı olabilmesi için paydadaki terimin, paydaki sabit sayının bir tam böleni olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Tam Sayılı Kesir Şeklinde Parçalama
Pay kısmındaki a+5 ifadesini (a+1) terimini içerecek şekilde düzenleyelim:
\frac{a+5}{a+1} = \frac{(a+1) + 4}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} + \frac{4}{a+1} = 1 + \frac{4}{a+1}
Adım 2 — a+1 İfadesinin Alabileceği Değerleri Belirleme
1 + \frac{4}{a+1} sonucunun bir doğal sayı (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}) olması için \frac{4}{a+1} teriminin bir tam sayı olması ve a değerinin de bir doğal sayı (a \ge 0) olması gerekir.
Buna göre (a+1) ifadesi, 4 sayısının pozitif tam sayı bölenleri olmalıdır:
a+1 \in \{1, 2, 4\}
Adım 3 — a Değerlerini ve İfadenin Sonuçlarını Hesaplama
-
a+1 = 1 \implies a = 0 (Doğal sayıdır)
\text{İfadenin Değeri} = 1 + \frac{4}{1} = 1 + 4 = 5 -
a+1 = 2 \implies a = 1 (Doğal sayıdır)
\text{İfadenin Değeri} = 1 + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3 -
a+1 = 4 \implies a = 3 (Doğal sayıdır)
\text{İfadenin Değeri} = 1 + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2
Adım 4 — Alınabilecek Farklı Değerlerin Sayısı
İfadenin alabileceği değerler kümesi: \{2, 3, 5\} olup toplam 3 farklı doğal sayı değeri vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Polinom Bölmesi / Kesir Parçalama
- Tanım: Payı paydaya bölerek bir tam kısım ve paydadan küçük dereceli bir kalan elde etme işlemidir.
- Bu problemde: \frac{a+5}{a+1} kesri 1 + \frac{4}{a+1} şeklinde yazılarak bilinmeyenin tek bir paydaya toplanması sağlanmıştır.
2. Doğal Sayı Kümesi (\mathbb{N})
- Tanım: Sıfırdan başlayıp sonsuza giden pozitif tam sayıları ve sıfırı içeren kümedir (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}).
- Bu problemde: a = 0 değerinin doğal sayı olduğu dikkate alınmış ve ifadenin 5, 3, 2 sonuçlarının tamamının doğal sayı olduğu teyit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
0 Sayısını Doğal Sayı Olarak Almamak
- Yanlış: a+1 = 1 \implies a = 0 durumunu “0 doğal sayı değildir” yanılgısıyla eleyip sadece 2 farklı değer bulmak.
- Doğru: 0 bir doğal sayıdır (0 \in \mathbb{N}); dolayısıyla a = 0 geçerli bir değerdir.
- Neden yanlış: Doğal sayılar kümesi 0 elemanını içerir. Pozitif doğal sayılar (\mathbb{N}^+) ile karıştırılmamalıdır.
Bu tip kesirli tam sayı/doğal sayı sorularında benzer bir pratik soru daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?