A bir asal sayı olmak üzere, \(\dfrac{5a+259}{a}\) kesri bir doğal sayı belirttiğine göre, a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

KPSS
1

sor

Soru:
KPSS)
Genel Yetenek
MATEMATİK
8. a bir asal sayı olmak üzere,
5a +259
a
Test 1
kesri bir doğal sayı belirttiğine göre, a’nın ala-
bileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 43
B) 44
C) 45 D) 46
E) 47

**Soru Fotoğrafı:

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Sorunun Çözümü: a’nın Değerlerinin Toplamı

:light_bulb: Kullanılan Kural: Kesrin bir doğal sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Kesrin Doğal Sayı Olma Şartı
Kesir:

\frac{5a + 259}{a}

burada kesrinin doğal sayı olması için a sayısı pay olan 5a + 259 sayısını tam bölmelidir.

Adım 2 — Bölünebilme Şartı
$$a \mid (5a + 259)$$ olması gerekir.

Bu durumda, a sayısı 5a + 259’u tam böler.

Adım 3 — Bölme Kuralını Kullanma
a asal sayı olduğuna göre,
a sayısı 5a’yı tam bölür (çünkü içinde a çarpanı var).

O zaman bölünebilme koşulunda sadece a \mid 259 kontrol edilir. Yani a sayısı 259 sayısını tam bölmelidir.

Adım 4 — 259’un Asal Çarpanlarını Bulma
259’un asal çarpanlarına bakalım:

  • 259’u 7’ye bölelim: 259 \div 7 = 37 (tam bölünüyor)
  • 37 asal bir sayıdır.

Yani 259’un asal çarpanları 7 ve 37’dir.

Adım 5 — a’nın Alabileceği Değerler
a asal sayı ve 259’u tam bölmeli.
Bu nedenle a ya 7 ya da 37 olabilir.

Adım 6 — Değerlerin Toplamı
a’nın alabileceği değerler: 7 ve 37
Toplamları: 7 + 37 = 44

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: B) 44
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Bölünebilme: Bir sayının diğerini tam bölmesi, kalansız bölünmesi anlamındadır.
  • Asal Sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan sayılar.
  • Kesrin Doğal Sayı Olması: Paydanın payı tam böldüğü durumların kesri doğal sayı yapması.

:warning: Yaygın Hata:

:cross_mark: Tüm asal sayıların 259’u bölmesi gerektiğini düşünmek
:white_check_mark: Doğrusu, sadece 259’un asal çarpanları olan 7 ve 37’nin bölmesi mümkün

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

a bir asal sayı olmak üzere, \dfrac{5a+259}{a} kesri bir doğal sayı belirttiğine göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir kesri pay ve payda şeklinde ayırarak sadeleştirme: \dfrac{5a+259}{a}=5+\dfrac{259}{a}

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kesri sadeleştir

\frac{5a+259}{a}
= \frac{5a}{a} + \frac{259}{a}
= 5 + \frac{259}{a}

Adım 2 — Tam sayı şartını uygula

Tanım: Kesrin doğal sayı olabilmesi için \dfrac{259}{a} ifadesinin tam sayı olması gerekir.

\frac{259}{a} \in \mathbb{Z}
\Rightarrow a \mid 259

Adım 3 — 259’un asal çarpanlara ayrılması

259
= 7 \times 37
\Rightarrow \text{Asal bölenler: } a=7 \text{ veya } a=37

Adım 4 — a’nın alabileceği değerlerin toplamı

7 + 37
= 44

:white_check_mark: CEVAP: 44

TEMEL KAVRAMLAR:

  • Bölme ve tamlık

    • Tanım: Bir sayının diğerine tam bölünmesi, bölümün tam sayı olması demektir.
    • Bu problemde: \dfrac{259}{a} ifadesinin tam sayı olması gerektiği kullanıldı.

  • Asal çarpanlara ayırma

    • Tanım: Bir sayıyı asal sayılar çarpımı şeklinde ifade etme.
    • Bu problemde: 259 = 7 × 37 olduğu bulunarak asal bölenler belirlendi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Bölenleri eksik saymak

  • Yanlış: 259’u yalnızca tek bir asal sayıya bölen olarak düşünmek.
  • Doğru: 259’un tüm asal bölenleri (7 ve 37) göz önünde bulundurulmalıdır.
  • Neden yanlış: Eksik bölen alındığında olası tüm a değerleri atlanır.
  • Düzeltme: Sayıyı asal çarpanlarına ayır ve tüm asal bölenleri kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: