Soru 86: a, b, c Tam Sayılarının Sıralaması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Çift kuvvetler sıfırdan farklı her reel sayı için daima pozitiftir: x \neq 0 \implies x^2 > 0
- İki ifadenin çarpımı pozitifse, işaretleri aynıdır.
- Bir çarpımın sonucu 0 ise, çarpanlardan en az biri 0’a eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a^2 \cdot b^3 > 0 İfadesinin İşaret Analizi
- a^2 ifadesi bir tam karenin karesi olduğundan daima sıfır veya pozitiftir (a^2 \ge 0).
- Çarpımın sonucu pozitif (>0) olduğuna göre, a \neq 0 ve a^2 > 0 olmalıdır.
- a^2 > 0 olduğundan, çarpımın pozitif olması için b^3 > 0 olmalıdır.
- Buradan b > 0 (pozitif) ve b \neq 0 bulunur.
Adım 2 — a \cdot b \cdot c = 0 İfadesinden c Değerinin Belirlenmesi
- a \neq 0 ve b \neq 0 olduğunu Adım 1’de bulmuştuk.
- Çarpımın 0 olması için geriye kalan tek çarpan olan c değerinin 0 olması gerekir:
c = 0
Adım 3 — a + b + c < 0 İfadesinden a’nın İşaretinin Belirlenmesi
Adım 4 — Sayıların Sıralanması
- a < 0 (negatif tam sayı)
- c = 0 (nötr sayı)
- b > 0 (pozitif tam sayı)
- Küçükten büyüğe sıralama: a < c < b olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) a < c < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 87: Aralık ve Değer Analizi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Verilen aralıktaki tam sayı değerleri listelenerek en küçük (minimum), en büyük (maksimum) ve farklı toplam sayıları belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenlerin Alabileceği Tam Sayı Değerlerini Belirleme
- -4 < a < -1 \implies a \in \{-3, -2\}
- -1 < b < 5 \implies b \in \{0, 1, 2, 3, 4\}
Adım 2 — I. Yargının İncelenmesi (a \cdot b Çarpımı En Az -12 dir)
Adım 3 — II. Yargının İncelenmesi (\frac{b}{a} Oranı En Az -3 tür)
- \frac{b}{a} oranının en küçük olması için değerleri test edelim:
- a = -2, b = 4 \implies \frac{4}{-2} = -2
- a = -3, b = 4 \implies \frac{4}{-3} \approx -1{,}33
- a = -2, b = 3 \implies \frac{3}{-2} = -1{,}5
- Bu oran en az -2 değerini alabilir, -3 değerini alamaz.
- II. yargı YANLIŞTIR.
Adım 4 — III. Yargının İncelenmesi (a + b Toplamının Alabileceği 6 Farklı Değer Vardır)
- a = -3 için toplamlar:
-3+0 = -3, \quad -3+1 = -2, \quad -3+2 = -1, \quad -3+3 = 0, \quad -3+4 = 1
- a = -2 için toplamlar:
-2+0 = -2, \quad -2+1 = -1, \quad -2+2 = 0, \quad -2+3 = 1, \quad -2+4 = 2
- Oluşan farklı değerler kümesi: \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} olup toplam 6 farklı değer vardır.
- III. yargı DOĞRUDUR.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) I ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 88: Çarpımların Farkının En Büyük Değeri
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İki pozitif sayının toplamı sabitken çarpımlarının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilir.
- Toplamı sabit olan sayıların çarpımının en küçük olması için sayılar birbirinden en uzak seçilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a \cdot b Çarpımının Maksimum Değerini Bulma
Adım 2 — c \cdot d Çarpımının Minimum Değerini Bulma
Adım 3 — İşlemin Sonucunu Hesaplama
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 41
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Kuvvet Kuralı
- Tanım: Bir reel sayının çift kuvveti negatif olamaz (x^{2n} \ge 0).
- Bu problemde: a^2 > 0 olduğu için b^3’ün işaretinin pozitif olması gerektiği doğrudan belirlendi.
2. Toplamı Sabit Sayılarda Çarpım Özelliği
- Tanım: Toplamları sabit iki pozitif sayının çarpımı sayılar birbirine yaklaştıkça büyür, uzaklaştıkça küçülür.
- Bu problemde: a \cdot b için sayılar eşit (8, 8), c \cdot d için sayılar en uzak (1, 23) seçildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
a \neq b şartı yokken farklı sayı seçmek
- Yanlış: a+b=16 için sayıları farklı kabul edip a=7, b=9 \implies 7 \times 9 = 63 almak.
- Doğru: Soruda “farklı tam sayılar” denmediği sürece a=b=8 seçilerek çarpım 64 yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Soru metninde değişkenlerin birbirinden farklı olduğu belirtilmedikçe aynı değeri alabilirler.
Bu tip temel kavram ve eşitsizlik sorularında pratik yapmak için benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
