a, b ve c tam sayılardır.
\frac{24}{a} = \frac{b}{3} = c
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
A) -100
B) -97
C) -95
D) -92
E) -90
Tam Sayılarda Değer Aralığı ve Toplamın En Küçük Değeri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- a, b, c \in \mathbb{Z}
- \frac{24}{a} = c \implies a \cdot c = 24
- \frac{b}{3} = c \implies b = 3c
- İstenen ifade: a + b + c = a + 3c + c = a + 4c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tek Bir Değişkene Bağlama
Verilen eşitlikleri c cinsinden ifade edelim:
\frac{24}{a} = c \implies a = \frac{24}{c} \quad \text{veya} \quad a \cdot c = 24
\frac{b}{3} = c \implies b = 3c
Toplam ifadesini yazalım:
a + b + c = a + 3c + c = a + 4c
Adım 2 — En Küçük Değer İçin Negatif Çarpanları Belirleme
a, b ve c tam sayılar olduğuna göre, toplamın en küçük (en negatif) olması için a ve c sayılarını negatif seçmeliyiz. Çarpımları 24 olan negatif tam sayı ikililerini (a \cdot c = 24) inceleyelim:
- a = -24 ve c = -1 \implies a + 4c = -24 + 4(-1) = -28
- a = -12 ve c = -2 \implies a + 4c = -12 + 4(-2) = -20
- a = -2 ve c = -12 \implies a + 4c = -2 + 4(-12) = -50
- a = -1 ve c = -24 \implies a + 4c = -1 + 4(-24) = -1 - 96 = -97
Adım 3 — Değişkenleri Yerine Koyarak Doğrulama
- c = -24
- a = -1
- b = 3 \cdot (-24) = -72
Toplam:
a + b + c = (-1) + (-72) + (-24) = -97
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -97
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Sayılarda Çarpım: Çarpımları pozitif olan iki sayının toplamını en küçük yapmak için ikisi de negatif seçilmeli ve katsayısı büyük olan terime mutlak değerce en büyük sayı verilmelidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: a değerini en küçük yapmak için a = -24 seçip c = -1 almak (a + b + c = -24 - 3 - 1 = -28).- Doğru Yaklaşım: b = 3c olduğundan, c sayısı toplamı 4c olarak etkiler. Bu yüzden katsayısı büyük olan c’ye mutlak değerce en büyük negatif tam sayıyı (c = -24) vermek sonucu en küçük yapar.
Bu tür tam sayı sorularında çarpanların toplamı nasıl etkilediğini pekiştirmek için benzer bir örnek daha çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber ben bu soruyu bir şekilde doğru yaptım ama anlamadım
Mantığı Kavrama Rehberi: Neden Böyle Çözdük?
Tebrikler, doğru sonuca ulaşmış olman harika! Şimdi bu sorunun arkasındaki matematiksel stratejiyi ve sezgiyi adım adım oturtalım.
1. Neden Negatif Sayılara Yöneldik?
Soru bizden a + b + c toplamının “en az” olmasını istiyor.
- Sayılar pozitif olsaydı toplam büyürdü.
- Sayı doğrusunda sola, yani sıfırdan olabildiğince uzak negatif sayılara gitmeliyiz ki toplam en küçük (en negatif) olsun.
2. İki Temel Eşitliği İnceleyelim
Verilen eşitlik:
\frac{24}{a} = \frac{b}{3} = c
Bunu iki ayrı parçaya ayıralım:
- \frac{b}{3} = c \implies b = 3c
Bu eşitlik bize şunu söyler: b sayısı her zaman c’nin 3 katıdır. - \frac{24}{a} = c \implies a \cdot c = 24
Bu eşitlik bize şunu söyler: a ile c’nin çarpımı her zaman 24 olmak zorundadır.
3. Asıl Püf Noktası: Kim Toplamı Daha Çok Etkiliyor?
Şimdi aradığımız toplama bakalım:
\text{Toplam} = a + b + c
b yerine 3c yazarsak:
\text{Toplam} = a + 3c + c = a + 4c
İşte sorunun kilidini açan yer burasıdır!
- İfadede c’nin katsayısı 4, a’nın katsayısı ise sadece 1’dir.
- Bu demektir ki c’yi ne kadar küçük (yani mutlak değerce büyük bir negatif sayı) seçersen, toplam 4 katı kadar küçülecektir.
- Dolayısıyla hakkımızı a’yı değil, c’yi en negatif yapmak için kullanmalıyız!
4. Sayıları Seçme Aşaması
a \cdot c = 24 olduğunu biliyoruz. Çarpımları +24 olan negatif tam sayı ikililerine bakalım:
| a | c | b = 3c | a + b + c |
|---|---|---|---|
| -24 | -1 | -3 | (-24) + (-3) + (-1) = -28 |
| -12 | -2 | -6 | (-12) + (-6) + (-2) = -20 |
| -2 | -12 | -36 | (-2) + (-36) + (-12) = -50 |
| -1 | -24 | -72 | (-1) + (-72) + (-24) = -97 |
Gördüğün gibi:
- a = -24 seçtiğimizde c sadece -1 olabiliyor ve b de küçülemiyor (Toplam: -28).
- Fakat c = -24 seçtiğimizde, b = 3 \cdot (-24) = -72 gibi devasa bir negatif sayıya dönüşüyor ve toplamı hızla aşağı çekerek -97 yapıyor.
Özet Formül:
Katsayısı büyük olan değişkene mutlak değerce en büyük sayıyı vermek, toplamı daima en uç noktaya (en küçüğe veya en büyüğe) taşır.
Mantık şimdi tam olarak yerine oturdu mu, aklına takılan başka bir detay var mı?
@sorumatik_ai Benzer örnek sorular yaz
Bu mantığı pekiştirmen için aynı düşünce sistematiğini kullanan iki farklı seviyede örnek soru ve ayrıntılı çözümleri:
Örnek 1: Benzer Tipte Negatif Tam Sayı Sorusu
x, y ve z birer tam sayıdır.
\frac{36}{x} = \frac{y}{2} = z
olduğuna göre, x + y + z toplamı en az kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- x, y, z \in \mathbb{Z}
- x \cdot z = 36
- y = 2z
- İstenen ifade: x + y + z = x + 2z + z = x + 3z
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Tek Bir Değişkene İndirgeme
Eşitlikleri z cinsinden düzenleyelim:
\frac{36}{x} = z \implies x \cdot z = 36
\frac{y}{2} = z \implies y = 2z
x + y + z = x + 2z + z = x + 3z
Adım 2 — Katsayısı Büyük Olana Öncelik Verme
Toplamın en az olması için negatif sayılarla çalışmalıyız. z’nin katsayısı (3), x’in katsayısından (1) büyük olduğu için z’yi mutlak değerce en büyük negatif tam sayı seçmeliyiz:
- x \cdot z = 36 olduğuna göre z = -36 seçilirse x = -1 olur.
Adım 3 — Değerleri Yerine Koyma
- x = -1
- z = -36
- y = 2 \cdot (-36) = -72
x + y + z = (-1) + (-72) + (-36) = -109
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -109
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Örnek 2: Düşünceyi Geliştiren Varyasyon (Pozitif Tam Sayılarda En Az)
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
\frac{40}{a} = \frac{b}{2} = c
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- a, b, c \in \mathbb{Z}^+
- a \cdot c = 40
- b = 2c
- Toplam: a + b + c = a + 2c + c = a + 3c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeyi Düzenleme
Toplam formülü:
a + 3c
a ve c pozitif tam sayılardır ve çarpımları a \cdot c = 40’tır.
Adım 2 — Çarpan Çiftlerini İnceleme
Pozitif sayılarda toplamın en küçük olması için birbirine yakın değerler test edilir:
- c = 1 \implies a = 40 \implies a + 3c = 40 + 3(1) = 43
- c = 2 \implies a = 20 \implies a + 3c = 20 + 3(2) = 26
- c = 4 \implies a = 10 \implies a + 3c = 10 + 3(4) = 22
- c = 5 \implies a = 8 \implies a + 3c = 8 + 3(5) = 23
- c = 8 \implies a = 5 \implies a + 3c = 5 + 3(8) = 29
Elde edilen en küçük değer 22’dir.
Adım 3 — Sağlama
- a = 10
- c = 4
- b = 2 \cdot 4 = 8
a + b + c = 10 + 8 + 4 = 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Negatif tam sayılarda en az: Katsayısı büyük olan değişkene mutlak değerce en büyük negatif değer verilir (Örnek 1).
- Pozitif tam sayılarda en az: Terimler birbirine dengeli şekilde yaklaştırılır (Örnek 2).
Bu iki soru arasındaki strateji farkını test etmek için bir soru da senin çözmen adına hazırlamamı ister misin?