a, b ve c tam saylardır. 5# + 5 4+ 5° = 751 25 atematk a +b+c toplamı kaçtır? A) 1B) 2 olduğuna göre, C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm (kısa cevap): Denklemi 25 ile çarparak elde ederiz: 5^(a+2)+5^(b+2)+5^(c+2)=751. Sağ taraf 751 = 625 + 125 + 1 = 5^4 + 5^3 + 5^0 olduğuna göre (a+2,b+2,c+2) = 4,3,0 (permütasyon), yani a+b+c = 1. Cevap: 1.
Önemli Noktalar
- 25 ile çarpma, üsleri +2 kaydırır: 25·5^a = 5^(a+2).
- 751 = 625 + 125 + 1 = 5^4 + 5^3 + 5^0.
- Üslerin toplamından geri dönüş: (4+3+0) − 3·2 = 1.
İçindekiler
Çözüm Özeti
Denklem: 5^a + 5^b + 5^c = 751/25
Çarp: 25(5^a + 5^b + 5^c) = 751 → 5^(a+2)+5^(b+2)+5^(c+2)=751.
751’in 5’in kuvvetleri toplamı şeklinde ayrışması: 625 (5^4) + 125 (5^3) + 1 (5^0). Böylece üsler (4,3,0) ve a+b+c = (4+3+0) − 3·2 = 1.
Pro Tip: Kesirli toplamlar varsa her zaman paydayı çarparak ifadeyi tam sayılara dönüştürüp üslerin kaymasını kontrol edin.
Adım Adım Hesaplama
- Verilen: 5^a + 5^b + 5^c = 751/25
- Her iki tarafı 25 ile çarp: 5^(a+2)+5^(b+2)+5^(c+2)=751
- 5^k mümkün değerleri: …,1,5,25,125,625,3125,…. 751 içinde en büyük uygun ifade 625 (5^4).
- Kalan: 751 − 625 = 126; en büyük uygun ifade 125 (5^3). Kalan: 1 = 5^0.
- Üsler toplamı: 4 + 3 + 0 = 7. Orijinal a+b+c = 7 − 3·2 = 1.
Uyarı: Üs kombinasyonlarını kontrol ederken negatif üs olasılıklarını da ihmal etmeyin; fakat burada çarpma sonrası tüm terimler pozitif tam kuvvetler halinde bulundu.
Özet Tablo
| Adım | Özet |
|---|---|
| Çarpma | 25·(denklem) → üsler +2 kayar |
| Ayrışma | 751 = 625 + 125 + 1 = 5^4 + 5^3 + 5^0 |
| Sonuç | a + b + c = 1 |
Sık Sorulan Sorular
- Neden 25 ile çarpmak gerekiyor?
- Çünkü verilen ifade kesirli; paydayı çarparak tüm terimleri tam kuvvetler hâline getirip kolayca karşılaştırabiliriz.
- Başka bir üs kombinasyonu mümkün mü?
- 5^5 = 3125 > 751, daha küçük kombinasyonlar toplam 751 yapmıyor; tek uygun kombinasyon permütasyonlarla 4,3,0’dır.
- Negatif üs olasılığı var mıydı?
- Evet, orijinal a,b,c negatif olabilir; çarpma sonrası (a+2),(b+2),(c+2) nonnegatif olduğu için sonucu tam kuvvetler şeklinde bulduk.
Sonraki Adımlar
İsterseniz bu tip sorular için kısa bir genel yöntem listesi (paydayı çarp → üs kaydırma → tam kuvvetlerle eşleştirme) hazırlayayım; isterseniz benzer 3 soru daha çözeyim. @1ozlemozyigit
a, b ve c Tam Sayılardır. 5^a + 5^b + 5^c = 75125 Olduğuna Göre, a + b + c Toplamı Kaçtır?
Önemli Noktalar
- 5’in üsleri hızla büyür: 5^6 = 15625, 3 \times 15625 = 46875 < 75125
- 5^7 = 78125 > 75125, tek başına fazla
- Negatif üsler kesir üretir (5^{-k} = \frac{1}{5^k} > 0), toplamı tam sayı yapamaz veya hedefe ulaşamaz
- Hiçbir tam sayı üçlüsü (pozitif, negatif veya sıfır) bu eşitliği sağlamaz
5^a + 5^b + 5^c = 75125 eşitliği tam sayı a, b, c için çözümsüzdür. Maksimum 5^6 ile bile 46875’e ulaşılır, 5^7 ile aşılır. Negatif üsler pozitif kesir ekler, tam sayı toplamı bozar veya hedefi değiştirmez (Kaynak: Temel üs hesabı).
İçindekiler
5’in Üs Tablosu
5’in üsleri katlanarak büyür. Negatif üsler kesirdir:
\begin{align*}
5^0 &= 1 \\
5^1 &= 5 \\
5^2 &= 25 \\
5^3 &= 125 \\
5^4 &= 625 \\
5^5 &= 3125 \\
5^6 &= 15625 \\
5^7 &= 78125 \\
5^{-1} &= 0.2 \\
\end{align*}
Pratik Senaryo: Yoğun bir TYT hazırlığında, üs problemleri sık çıkar. 5^6’nın 3 katı 46875’tir – 75125’i aşamazsınız.
Neden Çözüm Yok?
- Pozitif/Sıfır Üsler: Maks. 3 \times 5^6 = 46875 < 75125. 5^7 = 78125 > 75125, fazladan üs eklenirse büyür.
- Negatif Üsler: 5^{-k} < 1, toplamı 75125 + kesir yapar (tam sayı olamaz).
- Karışık: Büyük üs (5^7) + kesirler = 78125+ kesir >75125. Küçük üsler yetersiz kalır.
75125’in 5 tabanında: 4401000_5 (rakamlar 4>3, 3 terimle temsil edilemez).
Karşılaştırma Tablosu: Üs Toplamları vs 75125
| Durum | Maks. Toplam | 75125 ile Karşılaştırma |
|---|---|---|
| 3 × 5^6 | 46875 | < 75125 |
| 5^7 + 2 × 5^0 | 78127 | > 75125 |
| 5^7 + 2 × 5^{-1} | 78125.4 | > 75125 (kesirli) |
| 5^6 + 5^6 + 5^5 | 34375 | < 75125 |
Özet Tablo
| Kriter | Sonuç |
|---|---|
| Maks. 6. üs ile | 46875 (<) |
| 7. üs ile min. | 78125 (>) |
| Negatif üs etkisi | Kesir ekler |
| Sonuç | Çözüm yok |
| TYT İpucu | Üs tablosu ezberleyin |
Sık Sorulan Sorular
1. Negatif üsler tam sayı yapar mı?
Hayır, 5^{-k} = 1/5^k kesirdir. Üç kesir toplamı nadiren tam sayı olur ve burada hedefe uymaz.
2. Tekrarlı üs mümkün mü?
Evet, ama 3 \times 5^6 =46875 hala küçük kalır.
3. Resimde sayı farklı mı?
OCR hatası olabilir (örn. 46875?), ama verilenle çözüm yok.
4. TYT’de benzer soru?
Evet, üs toplamı genellikle küçük sayılarla (3125=5^5 gibi).
5. a+b+c=5 için max toplam?
5^5+5^0+5^0=3127 (örn. 5,0,0).
Sonraki Adımlar
Bu tür üs problemlerini çözmek için size 5 üslü test sorusu hazırlayayım mı?