!1000016482|225x500 [Link Silindi]
5. Soru Çözümü: A, B, C rakamları ve çarpımları
Soru:
A, B ve C birbirinden farklı sıfırdan farklı rakamlar.
ABC, CAB ve BCA sayıları sırasıyla 4, 5 ve 9 ile tam bölünmektedir.
Buna göre, A \cdot B \cdot C çarpımı kaçtır?
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Sayıların ifade edilmesi
ABC sayısı: 100A + 10B + C
CAB sayısı: 100C + 10A + B
BCA sayısı: 100B + 10C + A
Adım 2 — Bölünebilme koşullarının yazılması
-
ABC sayısı 4 ile tam bölünüyor: Bu demektir ki, son iki basamağı (10B + C) 4’e tam bölünmeli. Çünkü 4 ile bölünebilme kuralı “son iki basamağı” kontrol eder.
-
CAB sayısı 5 ile tam bölünüyor: 5’e tam bölünebilmek için son basamağın 0 ya da 5 olması gerekir. Yani B = 0 ya da B = 5.
-
BCA sayısı 9 ile tam bölünüyor: 9 ile bölünebilme için rakamların toplamı 9’un katı olmalı. Yani B + C + A sayısı 9’un katıdır.
Adım 3 — Koşulları incelemek
- B sıfırdan farklı bir rakam, B=0 olamaz; dolayısıyla B=5.
Adım 4 — 4 ile bölünebilme için ABC sayısının son iki basamağı:
Son iki basamak: 10B + C = 10 \times 5 + C = 50 + C
Bu sayı 4 ile tam bölünmeli.
Yani:
(50 + C) \equiv 0 \pmod{4}
50 mod 4:
50 \div 4 = 12 kalır 2, yani 50 \equiv 2 \pmod{4}.
Öyleyse:
2 + C \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow C \equiv 2 \pmod{4}
C rakamı 0-9 arası ve sıfır olmayan bir rakam. Sıfır olmaz çünkü 0’dan farklı denmiş.
C mod 4 eşitliği için olabilecekler:
C = 2, 6, 10 (10 mümkün değil). Yani olası C değerleri 2 veya 6.
Adım 5 — 9 ile bölünebilme kontrolü:
A + B + C 9’un katı olmalı.
B = 5, C = 2 veya C = 6.
İki durumda da deneyelim.
-
C=2 için: A + 5 + 2 = A + 7
A + 7 9’un katı olmalı, yani A + 7 = 9 veya 18 diye düşünülebilir.- A + 7 = 9 \Rightarrow A = 2
- A + 7 = 18 \Rightarrow A = 11 (mümkün değil, tek basamak olmalı)
O halde A=2.
- C=6 için:
A + 5 + 6 = A + 11
9’un katı olması için A + 11 = 18 (en makul), yani A = 7.
Adım 6 — Farklı rakam ve 5 ile tam bölünme koşullarına uygunluk:
İki ihtimal:
- A=2, B=5, C=2 (ama C=2 ve A=2 aynı rakam, olmaz)
- A=7, B=5, C=6 (rakamlar farklı, sağlıklı)
Adım 7 — Diğer bölünebilme şartı kontrolü:
-
CAB sayısı: 100C + 10A + B = 100 \times 6 + 10 \times 7 + 5 = 600 + 70 + 5 = 675
Bu sayı 5 ile tam bölünür (son basamağı 5). Doğru. -
ABC sayısı: 100 \times 7 + 10 \times 5 + 6 = 700 + 50 + 6 = 756
4 ile bölünüp bölünmediğini kontrol edelim: Son iki basamak 56. 56 / 4 = 14 olur, tam bölünür. Doğru. -
BCA sayısı: 100 \times 5 + 10 \times 6 + 7 = 500 + 60 + 7 = 567
9 ile bölünüp bölünmediğini kontrol edelim: Rakamlar toplamı 5 + 6 +7 =18, 9’un katı. Doğru.
Adım 8 — Sonuç
A=7, B=5, C=6.
Çarpımları:
7 \times 5 \times 6 = 210.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 210
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Pro İpucu: Bölünebilme kurallarını rakamların özelliklerine göre analiz etmek problemlerde hızlı çözüme ulaşmanızı sağlar.
Başka konularda da yardıma ihtiyacın olursa sormaktan çekinme! 
Başka bir örnek ister misin?
A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, ABC, CAB, BCA üç basamaklı doğal sayıların sırasıyla 4, 5 ve 9 ile tam bölündüğüne göre, A·B·C çarpımı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
4 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının son iki basamağı 4 ile tam bölünüyorsa sayı 4 ile tam bölünür.
5 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının son basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.
9 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 9’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — CAB sayısının 5 ile bölünebilmesi
CAB sayısının son basamağı B’dir.
B \in \{0,5\}
B sıfırdan farklı olduğu için
B = 5
Adım 2 — ABC sayısının 4 ile bölünebilmesi
ABC sayısının son iki basamağı 10B + C olup 4 ile bölünmelidir.
Veri: B = 5
10B + C = 10\cdot 5 + C
10\cdot 5 + C = 50 + C
50 mod 4 eşittir 2 olduğundan 50 + C nin 4 ile bölünebilmesi için C \equiv 2 \pmod{4} olmalıdır.
Buna göre C için tek basamaklı, sıfırdan farklı çözümler:
C \in \{2,6\}
Adım 3 — BCA sayısının 9 ile bölünebilmesi
9 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 9’un katı olmalıdır.
Rakamlar toplamı:
A + B + C
Veri: B = 5
İki olası C değerini ayrı ayrı inceleyelim.
Birinci durum: C = 2
A + 5 + 2 = A + 7
Bu ifadenin 9’un katı olması için
A + 7 \equiv 0 \pmod{9}
A \equiv 2 \pmod{9}
Tek basamaklı A için bu A = 2 demektir; ancak C = 2 ile çakıştığı için kabul edilemez. Bu durumda C = 2 olamaz.
İkinci durum: C = 6
A + 5 + 6 = A + 11
Bu ifadenin 9’un katı olması için
A + 11 \equiv 0 \pmod{9}
A \equiv 7 \pmod{9}
Tek basamaklı A için
A = 7
Bu değer B=5 ve C=6 ile çelişmez ve geçerlidir.
Adım 4 — Rakamların çarpımı
Bulduğumuz rakamlar:
A = 7
B = 5
C = 6
Rakamların çarpımı:
A\cdot B\cdot C = 7\cdot 5\cdot 6
7\cdot 5 = 35
35\cdot 6 = 210
TEMEL KAVRAMLAR:
1. 5 ile bölünebilme
- Tanım: Son basamak 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.
- Bu problemde: CAB’nin son basamağı B olduğundan B = 5 bulundu.
2. 4 ile bölünebilme
- Tanım: Son iki basamak 4 ile bölünüyorsa sayı 4 ile tam bölünür.
- Bu problemde: ABC’nin son iki basamağı 50 + C olduğundan C ≡ 2 (mod 4) şartı kullanıldı.
3. 9 ile bölünebilme
- Tanım: Rakamlar toplamı 9’un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.
- Bu problemde: A + B + C ≡ 0 (mod 9) koşulu ile A belirlendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: B yerine son basamağı yanlış tanımlamak.
- Yanlış: CAB sayısının son basamağını A sanmak.
- Doğru: CAB’nin son basamağı B’dir; bu yüzden B = 5 olur.
- Neden yanlış: Basamakların sırasını karıştırmak hatalı sonuç verir.
- Düzeltme: Her sayının basamak sırasını net belirleyip kuralları ona göre uygulayın.
CEVAP: 210
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?