a , b ve c sayıları 1’den büyük birer gerçek sayı olmak üzere,
\log_{a} b = 4 ve \log_{abc} b = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, \log_{b} c ifadesinin eşiti kaçtır?
A) -\frac{3}{4}
B) -\frac{3}{2}
C) -1
D) 0
E) 1
Logaritma Taban Değiştirme ve Çarpım Kuralı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir logaritma ifadesinde taban ile argümanın yer değiştirmesi \log_x y = \frac{1}{\log_y x} kuralıyla ifade edilir. Ayrıca aynı tabandaki çarpım, logaritmaların toplamı olarak açılır: \log_b(a \cdot b \cdot c) = \log_b a + \log_b b + \log_b c.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Eşitlikleri b Tabanına Göre Düzenleme
Soruda \log_a b = 4 ve \log_{abc} b = 2 olarak verilmiştir. Taban değiştirme kuralı uygulanarak her iki ifade b tabanına dönüştürülür:
\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{4}
\log_b (abc) = \frac{1}{\log_{abc} b} = \frac{1}{2}
Adım 2 — Logaritma Toplam Kuralı ile \log_b c Değerini Bulma
\log_b (abc) ifadesi logaritmanın çarpım özelliği kullanılarak terimlerine ayrılır ve bilinen değerler yerine yazılır:
\log_b a + \log_b b + \log_b c = \frac{1}{2}
\frac{1}{4} + 1 + \log_b c = \frac{1}{2}
\frac{5}{4} + \log_b c = \frac{1}{2} \implies \log_b c = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}
CEVAP: A) -\frac{3}{4}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Birden fazla terimin çarpımı tabanda yer aldığında (\log_{abc} b), taban ile içi yer değiştirerek (\frac{1}{\log_b (abc)}) ifadeyi parçalamak, soruyu çok daha kısa ve pratik bir şekilde çözdürür.