A, B ve C kümeleriyle ilgili
\{(a, b), (a, c), (b, d)\} \subseteq A \times B
\{(a, a), (a, e), (a, d), (b, f)\} \subseteq B \times C
olduğu bilinmektedir.
Buna göre, A cup B cup C kümesi en az kaç elemanlıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Kartezyen Çarpım ve Kümelerde Birleşim İşlemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
X \times Y kartezyen çarpımında bulunan her (x, y) sıralı ikilisi için birinci bileşen birinci kümeye (x \in X), ikinci bileşen ise ikinci kümeye (y \in Y) aittir. Birleşim kümesinin eleman sayısı en az sorulduğunda, kümelerin içermesi zorunlu olan tüm farklı elemanlar bir araya getirilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A \times B Kümesinden Eleman Analizi
\{(a, b), (a, c), (b, d)\} \subseteq A \times B verildiğine göre sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinde, ikinci bileşenleri B kümesinde yer almalıdır:
- A kümesinin elemanları: \{a, b\} \subseteq A
- B kümesinin elemanları: \{b, c, d\} \subseteq B
Adım 2 — B \times C Kümesinden Eleman Analizi
\{(a, a), (a, e), (a, d), (b, f)\} \subseteq B \times C verildiğine göre sıralı ikililerin birinci bileşenleri B kümesinde, ikinci bileşenleri C kümesinde bulunmalıdır:
- B kümesinin elemanları: \{a, b\} \subseteq B
- C kümesinin elemanları: \{a, d, e, f\} \subseteq C
Adım 3 — Kümelerin En Az Eleman Kapsamı ve Birleşim Kümesi
Elde edilen verileri birleştirerek her kümenin içermek zorunda olduğu asgari elemanları belirleyelim:
- A \supseteq \{a, b\}
- B \supseteq \{a, b, c, d\}
- C \supseteq \{a, d, e, f\}
Buradan A \cup B \cup C birleşim kümesinin mutlaka içermesi gereken elemanlar:
A \cup B \cup C \supseteq \{a, b\} \cup \{a, b, c, d\} \cup \{a, d, e, f\} = \{a, b, c, d, e, f\}
Kümedeki birbirinden farklı elemanlar a, b, c, d, e, f olmak üzere toplam 6 tanedir. Dolayısıyla kümenin eleman sayısı en az 6 olur.
CEVAP: D) 6 (s(A \cup B \cup C) \ge 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Kartezyen çarpım sorularında ortak olan kümeye (burada B kümesi) ait elemanlar iki farklı bağıntıdan da toplanmalıdır. Farklı harfler bağımsız elemanları temsil ettiğinden birleşim kümesinde aynı harfler yalnızca bir kez sayılarak asgari eleman adedine ulaşılır.