a, b ve c gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde y = ax^2 + bx + c parabolü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şekilde OABC karesinin alanı 16 birimkare olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Parabol ve Kare İlişkisi ile a + b + c Toplamının Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi: y = a(x - r)^2 + k
- Alanı A olan bir karenin kenar uzunluğu: Kenar = \sqrt{A}
- f(x) = ax^2 + bx + c fonksiyonu için katsayılar toplamı: f(1) = a + b + c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — OABC Karesinin Köşe Koordinatlarını Belirleme
- OABC karesinin alanı 16\text{ br}^2 olduğundan bir kenar uzunluğu \sqrt{16} = 4\text{ birim} olur.
- Şekle göre köşelerin koordinatları:
- O(0, 0)
- A(0, 4)
- C(4, 0)
- B(4, 4)
Adım 2 — Parabolün Tepe Noktasını Bulma
- Parabol hem A(0, 4) hem de B(4, 4) noktalarından geçmektedir.
- Parabolün simetri ekseni, bu iki noktanın orta dikmesidir:r = \frac{0 + 4}{2} = 2
- Parabol x eksenine teğet olduğundan tepe noktasının ordinatı k = 0’dır.
- Dolayısıyla tepe noktası T(2, 0) olur.
Adım 3 — Parabol Denklemini Oluşturma ve a Katsayısını Bulma
- Tepe noktası T(2, 0) olan parabol denklemi:y = a(x - 2)^2
- Parabol A(0, 4) noktasından geçtiğine göre:4 = a(0 - 2)^24 = 4a \implies a = 1
- Buradan parabol denklemi:y = 1 \cdot (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
Adım 4 — a, b, c Katsayılarını ve a + b + c Toplamını Hesaplama
- Parabol genel formu y = ax^2 + bx + c ile karşılaştırıldığında:
- a = 1
- b = -4
- c = 4
- a + b + c toplamı:a + b + c = 1 + (-4) + 4 = 1
(Veya doğrudan x = 1 yazılarak: f(1) = (1 - 2)^2 = 1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkıdır (1).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parabolün Simetri Ekseni
- Tanım: Parabolü iki eş parçaya bölen x = r doğrusudur.
- Bu problemde: y değerleri eşit olan (0, 4) ve (4, 4) noktalarının apsislerinin aritmetik ortalaması simetri eksenini (r = 2) vermiştir.
2. Parabolün x Eksenine Teğet Olması
- Tanım: Parabolün tepe noktası x ekseni üzerindedir ve diskriminant \Delta = 0’dır.
- Bu problemde: Tepe noktasının ordinatı k = 0 alınarak denklem kolayca oluşturulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
c Katsayısını Yanlış Yorumlamak
- Yanlış: c değerini karenin kenarından bağımsız rasgele bir değer almak.
- Doğru: Parabolün y eksenini kestiği nokta A(0, c) olduğundan, c = 4’tür.
- Neden yanlış: Parabolün y eksenini kestiği nokta doğrudan sabit terim olan c değerini verir.
Bu soru tipinde parabolün tepe noktası yerine diskriminant (\Delta = 0) formülüyle çözümün nasıl yapıldığını da görmek ister misin?