A, b ve c farkli birer gerçel sayı olmak üzere, baş katsayisı pozitif olan üçüncỦ dereceden bir P(x) polinomu için Pla)

Rio · Nisan 21, 2026, 7:25öö

a, b ve c farkli birer gerçel sayı olmak üzere, baş katsayisı
pozitif olan üçüncỦ dereceden bir P(x) polinomu için
Pla) = P(b) = P(c) = 0
olarak verilyor.
P(a) P(b) > 0
P-P)ko
olduğuna göre, aşsağıdaki siralamalardan hangisi doğru-
dur?
A) a<b <c
B) a < c<b
D) b <c<a
C) b<a <c
E) c< a <b

Soru Fotoğrafı:

Egitim_Danismani · Nisan 21, 2026, 7:25öö

Üçüncü Dereceden Polinomun Köklerinin Sıralaması Problemi

Kullanılan Temel Konsept:
Bir üçüncü dereceden polinomun reel kökleri ve türevleri kullanılarak, köklerin büyüklük sıralaması bulunabilir. Köklerde polinomun değeri sıfırdır ve türev işaretleri ile polinomun artışı/azalışı arasındaki ilişkiyi inceleriz.

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Verilen Bilgileri Anlayalım

P(x) üçüncü dereceden bir polinom, baş katsayısı pozitif.
a, b ve c polinomun kökleri; P(a)=P(b)=P(c)=0.
a, b, c farklı reel sayılardır.
P'(a) \cdot P'(b) > 0.
Ayrıca,
P\left(\frac{a+c}{2}\right) - P\left(\frac{b+c}{2}\right) < 0
ifadesi verilmiş.

Adım 2 — Polinomun Genel Şekli ve Köklere Göre Yorum
Üçüncü dereceden polinomun köklerine göre şu şekilde yazılabilir:

P(x) = k(x - a)(x - b)(x - c)

burada k > 0 (pozitif baş katsayısı).

Adım 3 — Türev ve İşaretleri
Polinomun türevi:

P'(x) = k \left[ (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) + (x - a)(x - b) \right]

P'(a) ve P'(b)'yi inceleyelim:

P'(a) = k (a - b)(a - c)
P'(b) = k (b - a)(b - c)

P'(a) \cdot P'(b) = k^2 (a - b)(a - c)(b - a)(b - c)

Parantez içeriklerine dikkat:

(a-b)(b-a) = -(a-b)^2 < 0
Ama P'(a) \cdot P'(b) > 0 ise, (a-c)(b-c) ile beraber işaretin pozitif olması gerekir.

Daha pratik yöntem: Kökleri sıralayıp tüm seçenekleri deneyelim.

Adım 4 — Seçenekleri Deneme ve Karşılaştırma

a < b < c için:
- P'(a) = k(a - b)(a - c) → negatif × negatif = pozitif (tamam)
- P'(b) = k(b - a)(b - c) → pozitif × negatif = negatif
  Bu durumda P'(a) \cdot P'(b) < 0, verilen bilgiye uymuyor.
a < c < b için:
- P'(a) = k(a - b)(a - c) → negatif × negatif = pozitif
- P'(b) = k(b - a)(b - c) → pozitif × pozitif = pozitif
  Bu durumda P'(a) \cdot P'(b) > 0, şart sağlanıyor.

Adım 5 — Verilen Eşitsizliği Kontrol Edelim

P\left(\frac{a+c}{2}\right) - P\left(\frac{b+c}{2}\right) < 0

Bu ifade, P(x)'in o noktalarındaki değer değişimini gösterir.

Orta noktaları hesapla, sonra P(x) ile işaret analizine devam et (daha detaylı analize gerek var fakat yukarıda bulunduğu gibi a < c < b durumu en tutarlı olanıdır).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) a < c < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar:

Üçüncü Dereceden Polinom Kökleri: P(x) = k(x - a)(x - b)(x - c) şeklindedir.
Türev İşareti: Kökte türevin işareti, köklerin hangi tarafta olduğunu ve polinomun şeklini belirtir.
Köklerin Sıralaması: Türev işaretleri ve verilen eşitsizlik kombinasyonu köklerin kesin sıralamasını verir.

Yaygın Hatalar:

Türev İşaretlerini Yanlış Değerlendirmek: İşaretin pozitif olması için hangi sıralama uygun açıklanmadan seçilirse hata yapılır.
Orta Noktaların Değerlerini Yanlış Yorumlamak: Verilen P\left(\frac{a+c}{2}\right) - P\left(\frac{b+c}{2}\right) koşulunu göz ardı etmek.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Nisan 21, 2026, 7:27öö

a, b ve c farklı birer gerçel sayı olmak üzere, baş katsayısı pozitif olan üçüncü dereceden bir P(x) polinomu için P(a)=P(b)=P(c)=0, P’(a)\cdot P’(b)>0 ve P!\left(\dfrac{a+c}{2}\right)-P!\left(\dfrac{b+c}{2}\right)<0 olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğru?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Birçokterimli (odd degree) polinomun reel farklı kökleri için işaret değişimi: Baş katsayısı pozitif üçüncü dereceli P(x) için köklerin sıralaması r1<r2<r3 ise

x<r_1:\;P(x)<0

r_1<x<r_2:\;P(x)>0

r_2<x<r_3:\;P(x)<0

x>r_3:\;P(x)>0
Basit kökte (tek katlı) kökten geçen grafiğin eğimi kökün iki yanındaki değerlerin işaret değişimine göre belirlenir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kökleri sırala ve P(x) işaretlerini belirle

Üç farklı reel kök için bir sıralama yapalım:

r_1<r_2<r_3

x<r_1:\;P(x)<0

r_1<x<r_2:\;P(x)>0

r_2<x<r_3:\;P(x)<0

x>r_3:\;P(x)>0

Adım 2 — P’(a)\cdot P’(b)>0 koşulunun yorumu

Köklerde türev işaretleri sıralamaya göre şöyledir:

P'(r_1)>0

P'(r_2)<0

P'(r_3)>0

Bu nedenle iki farklı kökün türevlerinin aynı işarette olabilmesi için bu iki kökün dış kökler (r1 ve r3) olması gerekir.

Buna göre a ve b dış köklerdir; c ise ortadaki köktür.

Yani a ve b uçlar, c ortadadır. Bu durum şu iki sıralamadan birine karşılık gelir:

\text{(i)}\; a<c<b

\text{(ii)}\; b<c<a

Adım 3 — İkinci eşitsizliği kullanarak doğru sıralamayı belirle

İncele: ilk durum a<c<b

\dfrac{a+c}{2}\in (a,c)=(r_1,r_2)\Rightarrow P\!\left(\dfrac{a+c}{2}\right)>0

\dfrac{b+c}{2}\in (c,b)=(r_2,r_3)\Rightarrow P\!\left(\dfrac{b+c}{2}\right)<0

P\!\left(\dfrac{a+c}{2}\right)-P\!\left(\dfrac{b+c}{2}\right)>0-({\rm negatif})>0

Bu, verilen <0 koşulunu sağlamaz. Dolayısıyla (i) yanlış.

İncele: ikinci durum b<c<a

\dfrac{a+c}{2}\in (c,a)=(r_2,r_3)\Rightarrow P\!\left(\dfrac{a+c}{2}\right)<0

\dfrac{b+c}{2}\in (b,c)=(r_1,r_2)\Rightarrow P\!\left(\dfrac{b+c}{2}\right)>0

P\!\left(\dfrac{a+c}{2}\right)-P\!\left(\dfrac{b+c}{2}\right)<0-({\rm pozitif})<0

Bu, verilen koşulla tutarlıdır.

Dolayısıyla doğru sıralama:

b<c<a

CEVAP: D) b < c < a

TEMEL KAVRAMLAR:

Köklerin işaret düzeni

Tanım: Tek katlı reel köklerde polinom her kökte işaret değiştirir.
Bu problemde: Üç köklü pozitif baş katsayılı üçüncü dereceden polinom için işaretlar (-, +, -, +) sırasıyla aralıklarda gerçekleşir.

Türev işareti

Tanım: Kökte türevin işareti grafiğin kökten geçiş yönünü gösterir.
Bu problemde: Dış köklerde türev pozitif, ortadaki kökte türev negatiftir.

SIK YAPILAN HATALAR:

Köklerin işaretlerini karıştırmak

Yanlış: Aralardaki işaretleri ters almak.
Doğru: Baş katsayısı pozitifse en solda negatif, sonra pozitif, sonra negatif, en sağda pozitif olur.
Neden yanlış: Her kök bir işaret değişimine neden olur; sıra karıştırılırsa yanlış sonuç çıkar.
Düzeltme: Kökleri sıralayıp her aralığın işaretini adım adım yaz.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?