!20260102_175019|375x500 [Link Silindi]
A, B ve C doğal sayıları adım problemi çözümleri
Önemli Noktalar
- Mert, A noktasından C noktasına a \cdot b adım ileri gidiyor.
- C noktasından D noktasına c adım geri gidiyor.
- A noktasından 48 adım ileri gidince B noktasına varıyor.
- D noktasından 2 \cdot a \cdot b adım ileri gidince B noktasına varıyor.
- a, b, c doğal sayılar; verilen ifadelerden doğruları bulmamız isteniyor.
Doğrudan Cevap
A, B, C, D noktaları ve adım sayıları ile ilgili verilen bilgileri analiz ederek denklemler kurarız.
- A’dan C’ye a \cdot b adım ilerleme.
- C’den D’ye c adım geri gitme, yani D = C - c (adım sayısı ile).
- A’dan B’ye toplam 48 adım ileri gidiliyor.
- D’den B’ye 2 \cdot a \cdot b adım ileri gidiliyor.
Buradan:
- A'dan B'ye olan toplam adım sayısı 48.
- Ayrıca D'den B'ye adım sayısı 2 \cdot a \cdot b.
İlk olarak toplam yol uzunluğunu yazalım:
AB = 48 adım.
A’dan C’ye a \cdot b adım olduğuna göre,
C’den B’ye kalan adım sayısı: 48 - a \cdot b.
Ayrıca, C’den D’ye c adım geri gidiyor,
D noktası konum olarak C’den c adım geride.
D’den B’ye adım sayısı 2 \cdot a \cdot b.
Yol ilişkisini kurarken:
DB = 2 \cdot a \cdot b
ve
DB = (CB) + (CD) = (48 - a \cdot b) + c (çünkü D, C’den c adım geri), burada dikkat edelim CD = c adım geriye, yani mesafe olarak pozitif değer.
Bu durumda:
$$2 \cdot a \cdot b = 48 - a \cdot b + c$$
Denklemi düzenlersek:
$$2ab + ab = 48 + c$$
$$3ab = 48 + c$$
Buradan:
$$c = 3ab - 48$$
a, b, c doğal ve pozitif sayılar olduğuna göre bu denkleme göre c değerini yazabiliriz.
Verilen İfadelerin Doğruluğu
I. a çiftse c çifttir.
II. b tekse a tektir.
III. c tekse b tektir.
Bu ifadeleri şimdi doğruluk açısından kontrol edelim.
İçerik Başlıkları
- Problemin Denklem Kurulumu
- İfadelerin Analizi ve Doğruluk Kontrolü
- Özet Tablosu
- Sıkça Sorulan Sorular
1. Problemin Denklem Kurulumu
-
A’dan C’ye a \cdot b adım:
AC = a \cdot b -
C’den D’ye c adım geri:
CD = c -
A’dan B’ye toplam adım:
AB = 48 -
D’den B’ye ileri adım:
DB = 2 \cdot a \cdot b
Toplam mesafe gerekenler ve konumlar:
AB = AC + CB = 48
DB = CB + CD = 2ab
Buradan CB = 48 - ab
Ayrıca DB = CB + CD ise,
2ab = (48 - ab) + c
\Rightarrow 3ab = 48 + c
\Rightarrow c = 3ab - 48
c doğal sayı olduğu için:
3ab - 48 > 0 \Rightarrow ab > 16
2. İfadelerin Analizi ve Doğruluk Kontrolü
I. a çiftse c çifttir.
c = 3ab - 48 ifadesinde, a çiftse
3ab ifadesi çift * b olur. b tek veya çift olabilir.
Eğer a çift ise 3ab çift olacaktır çünkü çift sayının herhangi bir sayıyla çarpımı çifttir.
48 çift olduğundan,
Çift - Çift = Çift olur.
Yani, I doğru.
II. b tekse a tektir.
Denklemde c doğal sayı olmalı:
c = 3ab - 48
Örneğin:
-
b tek, a çift: ab çift
3ab çift
c = çift - 48(çift) = çift
c doğal sayı olabilir. -
b tek, a tek: ab tek
3ab tek * 3 = tek
tek - çift(48) = tek
Yine c doğal sayı olur.
Dolayısıyla, b tek olduğunda a tek veya çift olabilir. Bu ifade genel olarak doğru değildir.
II ifadesi yanlış.
III. c tekse b tektir.
c = 3ab - 48
c tekse,
3ab - 48 tek ise,
3ab tek + çift (48) = tek,
3ab tek olmalı,
3 tek olduğundan, ab tek olmalıdır.
ab tek ise, a ve b tektir.
Bu durumda, b tektir.
III ifadesi doğrudur.
Sonuç:
- I ve III doğru.
3. Özet Tablosu
| İfade | Doğru / Yanlış |
|---|---|
| I. a çiftse c çifttir | Doğru |
| II. b tekse a tektir | Yanlış |
| III. c tekse b tektir | Doğru |
4. Sıkça Sorulan Sorular
1. Neden c = 3ab - 48 denklemi kullanıldı?
Verilen adım bilgileri ve mesafelerden denklemi kurabilmek için toplam adım sayıları ve yön bilgileri kullanıldı.
2. a, b, c sayılarının doğal sayı olması neden önemli?
Doğal sayılar pozitif tam sayılar olduğu için bazı olası çözümler elendi ve ifadelerin doğruluğu bu koşula göre test edildi.
3. İkinci ifade neden yanlış?
Çünkü b tek olduğunda a hem tek hem çift olabilir, bu yüzden a'nın tek olması zorunlu değil.
Doğru seçenek: D) I ve III
Bu matematik problemi yaklaşımı sizin ilginizi çekti mi? Başka benzer doğal sayılar veya adım problemleri çözmemi ister misiniz?
Soru Tekrarı
A noktasından ileriye doğru a\cdot b adım atarak C noktasına, C noktasından c adım geriye adım atarak D noktasına ulaşan Mert’in;
- A noktasından ileri 48 adımda B noktasına,
- D noktasından ileri 2\cdot a\cdot b adımda B noktasına ulaştığına göre,
a,b,c birer doğal sayı olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
I. a çiftse c çifttir.
II. b tekse a tektir.
III. c tekse b tektir.
—
Temel Çıkarımlar
- C ve D koordinatları için $$x_C = a,b,\quad x_D = a,b - c$$
- B noktasının konumu: $$x_B = 48$$ ve $$x_D + 2ab = 48;\Longrightarrow;3ab - c = 48$$
- Bu denklemden $$c = 3ab - 48$$ ve adım pozisyonunu korumak için $$ab\in[17,24]$$
Cevap: I ve III ifadeleri doğrudur.
İçindekiler
1. Denklemin Oluşturulması
- A → C: x_C = a\,b
- C → D: x_D = x_C - c = a\,b - c
- A → B: x_B = 48
- D → B: x_D + 2ab = 48
\displaystyle\Longrightarrow\;3ab - c = 48\quad\Longrightarrow\;c = 3ab - 48
2. Değer Aralıklarının Belirlenmesi
- Geri adım miktarı c\le x_C = ab\;\Longrightarrow\;3ab - 48 \le ab\;\Longrightarrow\;ab \le 24
- Ayrıca c>0\;\Longrightarrow\;3ab>48\;\Longrightarrow\;ab\ge17
- Sonuç: $$ab\in{17,18,\dots,24}$$
3. İfadelerin Doğruluğu
I. a çiftse c çifttir.
c = 3ab - 48 formülünde 48 çift, 3b tek ya da çift çarpanı ne olursa olsun a çiftse 3ab çifttir. Dolayısıyla c çift olur. ⇒ Doğru
II. b tekse a tektir.
Örnek olarak ab=18 için (a,b)=(2,9) alınabilir. Burada b tek ama a çift. ⇒ Yanlış
III. c tekse b tektir.
c = 3ab - 48 tek olabilmesi için 3ab tek olmalı, bu da ancak a ve $b$’nin her ikisinin de tek olmasıyla gerçekleşir. Dolayısıyla b tektir. ⇒ Doğru
4. Özet Tablosu
| Özellik | İfade/Aralık |
|---|---|
| C–D denk. | c = 3ab - 48 |
| ab aralığı | 17 \le ab \le 24 |
| Doğru ifadeler | I ve III |
| Yanlış ifade | II |
5. SSS
- Soru koşullarında ab<17 olsaydı ne olurdu?
- c=3ab-48 formülünü türetme adımlarını tekrar anlatabilir misiniz?
- Parite şartlarını test etmek için en etkili strateji nedir?
Bu tip parite problemlerine yönelik 3 adet ek alıştırma ister misiniz?
@Esin_Selen