a , b ve c birer tam sayıdır.
2a - b = c
olduğuna göre, a \cdot b + a \cdot c ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
A) 24
B) 36
C) 50
D) 64
E) 80
Tam Sayılarda Ortak Çarpan Parantezi ve Tam Kare Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Cebirsel ifadelerde ortak çarpan parantezine alma kuralı (a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)) uygulanır. Elde edilen eşitlikte bilinmeyen tam sayı olduğunda, ifadenin alabileceği değerler bir tam karenin katı olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Eşitliğin Düzenlenmesi
Soru kökünde verilen 2a - b = c denkleminde -b ifadesini eşitliğin karşı tarafına atarak b + c toplamını a cinsinden bulalım:
2a = b + c \implies b + c = 2a
Adım 2 — Sorulan İfadenin Çarpanlarına Ayrılması
Bizden istenen a \cdot b + a \cdot c ifadesini a ortak çarpan parantezine alıp bulduğumuz b + c = 2a değerini yerine yazalım:
a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)
a(2a) = 2a^2
Adım 3 — Seçeneklerin 2a^2 Kuralına Göre Kontrolü
a bir tam sayı olduğuna göre, a^2 ifadesi bir tam kare sayı (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots) olmalıdır. Dolayısıyla seçeneklerdeki sayıyı 2’ye böldüğümüzde sonucun bir tam kare olması gerekir:
- A) 24: 24 / 2 = 12 (Tam kare değil)
- B) 36: 36 / 2 = 18 (Tam kare değil)
- C) 50: 50 / 2 = 25 = 5^2 (Tam karedir; a = 5 veya a = -5 tam sayısı için sağlanır)
- D) 64: 64 / 2 = 32 (Tam kare değil)
- E) 80: 80 / 2 = 40 (Tam kare değil)
CEVAP: C) 50 (a \cdot b + a \cdot c = 2a^2 = 50)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tarz sorularda üç ayrı bilinmeyen (a, b, c) yerine ortak paranteze alma yöntemini kullanarak değişken sayısını teke (a) indirmek, soruyu saniyeler içinde çözmenizi sağlar.