a , b ve c birer tam sayı olmak üzere,
\begin{array}{|c|c|} hline multicolumn{2}{|c|}{c} \\ hline a & b \\ hline \end{array} = \left(\frac{a}{b}\right)^{c}
eşitliği tanımlanıyor.
Buna göre
\begin{array}{|c|c|} hline multicolumn{2}{|c|}{4x-6} \ hline 2 & 3 \ hline \end{array} = \begin{array}{|c|c|} hline multicolumn{2}{|c|}{1-x} \ hline 9 & 4 \ hline \end{array}
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Üslü Sayılarda Taban Eşitleme ve Denklem Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Verilen sembolik işlem kuralına göre alt bölmeler tabanı \left(\frac{a}{b}\right), üst bölme ise kuvveti (c) belirler. Tabanları birbirinin çarpmaya göre tersi veya kuvveti olan üslü denklemlerde \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n kuralı kullanılarak tabanlar eşitlenir ve üsler birbirine eşitlenerek denklem çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Daire Modellerini Üslü İfadeye Dönüştürme
Tanımlanan kurala göre sol ve sağdaki dairelerin değerleri yazılır:
- Sol taraf: a = 2, b = 3, c = 4x - 6 \implies \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4x - 6}
- Sağ taraf: a = 9, b = 4, c = 1 - x \implies \left(\dfrac{9}{4}\right)^{1 - x}
Denklem şu şekle gelir:
\left(\frac{2}{3}\right)^{4x - 6} = \left(\frac{9}{4}\right)^{1 - x}
Adım 2 — Tabanları Eşitleme ve Üslerin Eşitliği
\dfrac{9}{4} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} olduğundan sağ taraf \dfrac{2}{3} tabanında yazılır:
\left(\frac{9}{4}\right)^{1 - x} = \left[\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\right]^{1 - x} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2(1 - x)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x - 2}
Tabanlar aynı olduğu için üsler eşitlenir:
4x - 6 = 2x - 2
2x = 4 \implies x = 2
CEVAP: B) 2 (x = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kesirli üslü ifadelerde pay ve paydanın yerini değiştirirken üssün işaretini çarpmayı (-(1-x)) unutmamak işaret hatası yapılmasını engeller.