A, b ve c birer tam sayı olmak üzere

YKS TYT
1

a, b ve c birer tam sayı olmak üzere
a+b = T
a dot c = 9
b+c = T
sayılarından ikisinin tek sayı, birinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.
Buna göre
I. a+c
II. a dot b
III. a+b+c
ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) II ve III
E) I, II ve III

a, b ve c birer tam sayı olmak üzere a+b = T a dot c = 9 b+c = T sayılarından ikisinin...
a, b ve c birer tam sayı olmak üzere a+b = T a dot c = 9 b+c = T sayılarından ikisinin...1024×768 125 KB

2

Tek ve Çift Sayılar Mantığı ile Değişken Analizi

:light_bulb: KULLANILAN TEMEL KURALLAR:

  • \text{Tek} \cdot \text{Tek} = \text{Tek}
  • \text{Çift} \cdot (\text{Herhangi bir tam sayı}) = \text{Çift}
  • \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}
  • \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}
  • \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen İfadelerin Teklik-Çiftlik Durumunun Belirlenmesi

Verilen üç ifade:

  1. a + b
  2. a \cdot c
  3. b + c

Bu ifadelerden ikisinin tek, birinin çift olduğu bilinmektedir.

  • a \cdot c ifadesi tek olsaydı; hem a hem de c tek sayı olmak zorunda olurdu.
  • a ve c tek iken, a+b ve b+c ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olurdu (biri tek ise diğeri de tek, biri çift ise diğeri de çift).
    • Bu durumda ya 3 tek ya da 1 tek elde edilirdi; bu da verilen koşulla çelişir.

Dolayısıyla, çift olan ifade kesinlikle a \cdot c olmalıdır. Diğer iki ifade ise tek sayıdır:

a \cdot c = \text{Çift}
a + b = \text{Tek}
b + c = \text{Tek}

Adım 2 — a, b ve c Sayılarının Tek/Çift Durumlarının Bulunması

  • a + b = \text{Tek} olduğuna göre, a ile b zıt işaretlidir (biri tek, biri çift).
  • b + c = \text{Tek} olduğuna göre, b ile c zıt işaretlidir (biri tek, biri çift).
  • Buradan a ve c’nin teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu anlaşılır.
  • a \cdot c = \text{Çift} olduğuna göre, a ve c tek olamaz. Dolayısıyla her ikisi de çift olmalıdır.
  • b sayısı ise bunlara zıt olarak tek sayıdır.

Özetle:

  • a = \text{Çift}
  • b = \text{Tek}
  • c = \text{Çift}

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. a + c İfadesi:

    \text{Çift} + \text{Çift} = \text{Çift} \quad \text{(Her zaman çift)}

  • II. a \cdot b İfadesi:

    \text{Çift} \cdot \text{Tek} = \text{Çift} \quad \text{(Her zaman çift)}

  • III. a + b + c İfadesi:

    \text{Çift} + \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} \quad \text{(Her zaman tek)}

Bu durumda I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Toplamın Paritesi: İki sayının toplamı tek ise sayılardan biri tek, diğeri çifttir.
  • Çarpımın Paritesi: Çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması şarttır; çarpanlardan en az biri çift ise sonuç daima çifttir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Sadece tek bir değer kümesi (örneğin a=2, b=1, c=0) deneyip genelleme yaparak diğer olasılıkları gözden kaçırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: a \cdot c ifadesinin durumundan yola çıkarak mantıksal tümdengelim ile tüm değişkenlerin paritesini kesin olarak ispatlamak.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir tek-çift sayı yorumlama sorusu çözmek ister misin?