A, b ve c birer tam sayı olmak üzere, 2a+ b +C, a + b+ c ve a +b+ 2c ifadelerinden iki tanesi çift, bir tanesi tek

YKS TYT
1

5
a, b ve c birer tam sayı olmak üzere,
2a+ b +C, a + b+ c ve a +b+ 2c
ifadelerinden iki tanesi çift, bir tanesi tek sayıdır.
Buna göre
1.
abcifadesi çift sayıdır.
H. a+c ifadesi tek sayıdir.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnızl
D) Il ve l
B) Yalnız Il
C) I ve Il
E) I, II ve lll

5 a, b ve c birer tam sayı olmak üzere, 2a+ b +C, a + b+ c ve a +b+ 2c ifadelerinden...
5 a, b ve c birer tam sayı olmak üzere, 2a+ b +C, a + b+ c ve a +b+ 2c ifadelerinden...1024×775 91.6 KB

2

Tek ve Çift Sayılar Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir tam sayının karesi ile kendisi aynı teklik-çiftlik durumuna sahiptir: b^2 \equiv b \pmod 2
  • Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir: a^2 + a = a(a + 1) \equiv 0 \pmod 2
  • İki çift ve bir tek sayının toplamı daima tek sayıdır: \text{Çift} + \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfadelerin Teklik-Çiftlik Durumlarının İncelenmesi
Verilen üç ifadenin teklik-çiftlik (mod 2) karşılıklarını yazalım:

  1. İfade: 2a + b + c \equiv b + c
  2. İfade: a + b^2 + c \equiv a + b + c (çünkü b^2 ile b aynı pariteye sahiptir)
  3. İfade: a + b + 2c \equiv a + b

Adım 2 — b Sayısının Paritesinin Belirlenmesi
Bu üç ifadeden iki tanesi çift, bir tanesi tek olduğuna göre, bu üç ifadenin toplamı mutlaka tek olmalıdır:

(2a + b + c) + (a + b^2 + c) + (a + b + 2c) = \text{Çift} + \text{Çift} + \text{Tek} = \text{Tek}

İfadeleri mod 2’de toplarsak:

(b + c) + (a + b + c) + (a + b) \equiv 2a + 3b + 2c \equiv b \pmod 2

Buradan:

b \equiv 1 \pmod 2 \implies b \text{ kesinlikle \textbf{tek sayıdır}}.

Adım 3 — Öncüllerin Değerlendirilmesi

  • I. a \cdot b \cdot c ifadesi çift sayıdır:
    b tek iken; örneğin a = 1 (tek) ve c = 1 (tek) seçilirse:

    • 2a + b + c = 2(1) + 1 + 1 = 4 (Çift)
    • a + b^2 + c = 1 + 1^2 + 1 = 3 (Tek)
    • a + b + 2c = 1 + 1 + 2(1) = 4 (Çift)

    Bu durumda koşul sağlanır (iki çift, bir tek), ancak a \cdot b \cdot c = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 (Tek) olur. Dolayısıyla her zaman doğru değildir.

  • II. a^2 + b^2 + a + 1 ifadesi çift sayıdır:
    İfadeyi düzenleyelim:

    a^2 + a + b^2 + 1 = a(a + 1) + b^2 + 1
    • a(a + 1) ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan a’nın değerinden bağımsız olarak daima çifttir.
    • b tek sayı olduğu için b^2 de tek sayıdır.
    • 1 sayısı tek sayıdır.

    Toplamı incelersek:

    \text{Çift} + \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}

    Bu ifade her zaman doğrudur.

  • III. a^b + c ifadesi tek sayıdır:
    a = 1, b = 1, c = 1 (üçü de tek) durumunda koşul sağlandığı halde:

    a^b + c = 1^1 + 1 = 2 \text{ (Çift)}

    olmaktadır. Dolayısıyla her zaman doğru değildir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) Yalnız II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • a^2 + a İfadesi: a(a+1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Biri tek ise diğeri çift olmak zorunda olduğundan sonucu a’dan bağımsız daima çifttir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Üç ifadenin toplamını almadan her ihtimal için tek tek a, b, c değerleri deneyip bazı durumları gözden kaçırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: İfadeleri toplayarak doğrudan b değişkeninin kesin tek sayı olduğunu tespit etmek.

Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir tek-çift sayı pekiştirme sorusu çözmek ister misin?

3

@Akademik_Rehber mod2 ne demek

4

Mod 2 (Modülo 2) Kavramı

Mod 2, bir tam sayının 2’ye bölümünden kalan demektir. Matematikte teklik ve çiftlik durumlarını pratik bir şekilde ifade etmek için kullanılır.

Bir tam sayıyı 2’ye böldüğümüzde yalnızca iki farklı kalan elde edebiliriz:

  • Kalan 0 ise o sayı çift sayıdır.
  • Kalan 1 ise o sayı tek sayıdır.

:pushpin: Önemli Maddeler ve Özellikler:

  • Çift Sayılar: 2’ye tam bölündükleri için kalan 0’dır.
    \text{Sayı} \equiv 0 \pmod 2
    (Örnek: 6 \equiv 0 \pmod 2, 2a \equiv 0 \pmod 2)
  • Tek Sayılar: 2’ye bölündüklerinde 1 kalanını verirler.
    \text{Sayı} \equiv 1 \pmod 2
    (Örnek: 7 \equiv 1 \pmod 2, 9 \equiv 1 \pmod 2)
  • Kuvvet Özelliği: Bir sayının üssü pozitif tam sayı olduğunda teklik-çiftliği değişmez:
    b^2 \equiv b \pmod 2
    (Örnek: Tekin karesi tek, çiftin karesi çifttir.)
  • Çift Katlar Sıfırlanır: Önünde çift katsayı bulunan terimlerin kalan üzerindeki etkisi 0’dır:
    2a \equiv 0 \pmod 2 \quad \text{ve} \quad 2c \equiv 0 \pmod 2

:light_bulb: Sınav İpucu:
Teklik-çiftlik sorularında uzun uzun “tek + çift = tek” yazmak yerine; çift sayılar yerine 0, tek sayılar yerine 1 yazarak işlem yapabilirsin. Bu yöntem “Mod 2” aritmetiğidir ve işlem hızını oldukça artırır.

Mod aritmetiği mantığını başka bir örnek soru üzerinde pekiştirmek ister misin?