a, b ve c birer sayma sayısı olmak üzere,
a dot b = 4m
b dot c = 5m
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 15
D) 17
Sayma Sayılarında Oran-Orantı ve En Küçük Değer Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{a}{c} \quad (b \neq 0)
\text{EBOB}(x, y) = 1 \text{ iken } \frac{a}{c} = \frac{x}{y} \implies a = x \cdot k, \quad c = y \cdot k \quad (k \in \mathbb{Z}^+)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitlikleri Oranlama
İki eşitliği taraf tarafa oranlayarak ortak olan b ve m çarpanlarını sadeleştirelim:
\frac{a \cdot b}{b \cdot c} = \frac{4m}{5m}
b \neq 0 ve m \neq 0 olduğundan:
\frac{a}{c} = \frac{4}{5}
Adım 2 — Değişkenlerin Alabileceği En Küçük Değerleri Belirleme
a ve c birer sayma sayısı (\mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}) olduğundan ve 4 ile 5 aralarında asal olduğundan, bir k pozitif tam sayısı (k \in \mathbb{Z}^+) için:
a = 4k
c = 5k
Toplamın en küçük değerini bulmak için k pozitif tam sayısını en küçük seçmeliyiz:
k = 1 \implies a = 4, \quad c = 5
Adım 3 — Ortak Çarpan b ve m Değerini Bulma
b bir sayma sayısı olduğu için alabileceği en küçük değer 1’dir:
b = 1
Şimdi m’nin bir tam sayı olup olmadığını kontrol edelim:
a \cdot b = 4 \cdot 1 = 4 = 4m \implies m = 1 \in \mathbb{Z}
b \cdot c = 1 \cdot 5 = 5 = 5m \implies m = 1 \in \mathbb{Z}
Koşullar eksiksiz sağlanır.
Adım 4 — Toplamı Hesaplama
a + b + c = 4 + 1 + 5 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B seçeneği — 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sayma Sayıları (\mathbb{Z}^+): 1’den başlayıp sonsuza kadar giden pozitif tam sayılardır (\{1, 2, 3, \dots\}). Bu nedenle a, b, c değerleri 0 veya negatif olamaz.
- Aralarında Asal Sayılar: Ortak böleni yalnızca 1 olan sayılardır. \frac{a}{c} = \frac{4}{5} eşitliğinde 4 ve 5 aralarında asal olduğu için pay ve payda kesirli bölünemez; k mutlaka tam sayı olmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Ortak çarpan olan b’ye değer verirken m’ye bağlı kalarak b’yi gereksiz yere büyük seçmek veya b’yi 0 almak (0 sayma sayısı değildir).- Doğru Yaklaşım: Önce oranlama yaparak bağımsız değişkenlerin en sade katını bulmak, ardından sayma sayısı kuralına uygun en küçük pozitif tam sayıları (k=1, b=1) atamaktır.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?