a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
3a
- 2b-5c =79
olduğuna göre, a nın alabileceği eń küçük de-
ğer kaçtır?
3a - 2b - 5c = 79 Eşitliğinde a’nın En Küçük Değeri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Pozitif tam sayılar kümesi: \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}
- Eşitliğin düzenlenmesi: 3a = 79 + 2b + 5c
- Bir sayının 3’e tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3’ün katı olması gerekir.
- a’nın en küçük (minimum) değerini alabilmesi için b ve c pozitif tam sayılarına birbirinden ve a’dan farklı olacak şekilde en küçük değerler verilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitliği a cinsinden yalnız bırakma
Verilen denklemde negatif terimleri eşitliğin karşı tarafına atalım:
3a = 79 + 2b + 5c
Burada a’nın tam sayı olabilmesi için eşitliğin sağ tarafındaki (79 + 2b + 5c) ifadesinin 3’ün tam katı olması gerekir.
Adım 2 — b ve c için en küçük değerleri belirleme
a’nın en küçük değerini bulmak için katsayısı büyük olan c’ye ve ardından b’ye en küçük pozitif tam sayıları veririz:
- a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğundan b, c \ge 1 ve b \neq c olmalıdır.
- Katsayısı büyük olan c’ye en küçük değer olarak c = 1 verelim.
- b \neq c şartı nedeniyle b’ye en az 2 verilebilir:
- b = 2 için: 2b + 5c = 2(2) + 5(1) = 4 + 5 = 9
- 79 + 9 = 88 (88 sayısı 3’e tam bölünmez).
Adım 3 — 3’ün katı olan en küçük toplamı bulma
c = 1 değerini koruyarak b’yi bir sonraki en küçük pozitif tam sayı olan 3 olarak seçelim:
- c = 1 ve b = 3 (b \neq c şartı sağlanır).
- 2b + 5c = 2(3) + 5(1) = 6 + 5 = 11
- Sağ tarafın değeri: 79 + 11 = 90
- 90 sayısı 3’ün katıdır (90 / 3 = 30).
Adım 4 — Değerlerin ve şartların kontrolü
- a = 30
- b = 3
- c = 1
- Sayıların tümü pozitif tam sayıdır: 30, 3, 1 \in \mathbb{Z}^+
- Sayılar birbirinden farklıdır: 30 \neq 3 \neq 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Katsayı Önceliği ile Değer Verme
- Tanım: Doğrusal denklemlerde bir değişkeni minimum yapmak için, çıkarılan (veya karşıya pozitif geçen) değişkenlerden katsayısı büyük olana en küçük değerler verilir.
- Bu problemde: 5c ifadesindeki katsayı daha büyük olduğu için c’ye öncelikle en küçük pozitif tam sayı olan 1 değeri verilmiştir.
2. Bölünebilme Kuralı
- Tanım: 3a ifadesi daima 3’ün katı olmak zorundadır.
- Bu problemde: 79 + 2b + 5c toplamının 3’ün katı olduğu ilk durum b=3, c=1 iken 90 olarak elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
“Birbirinden farklı” şartını unutmak
- Yanlış: b = 1 ve c = 1 alarak 79 + 2(1) + 5(1) = 86 hesabı yapmak.
- Doğru: b ve c’nin farklı sayılar olması gerektiği için aynı değer verilemez.
- Neden yanlış: Soru kökündeki “birbirinden farklı” ifadesi kural ihlaline yol açar.
Bu soru tipinde katsayıları değiştirerek benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?