a , b ve c birbirinden farklı birer tam sayı olmak üzere,
|a - 2| \cdot |b - 4| = 1
a + |c - 3| = 1
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Mutlak Değerli Tam Sayı Denklemleri ve Çözüm Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: x, y \in \mathbb{Z} olmak üzere |x| \cdot |y| = 1 ise mutlak değerin negatif olamama kuralı gereği her iki çarpan da 1’e eşit olmalıdır (|x| = 1 ve |y| = 1). Ayrıca bir mutlak değerli ifadenin sonucu daima sıfır veya pozitif bir reel sayıdır (|A| \ge 0).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Birinci Eşitlikten a ve b Değerlerinin Belirlenmesi
a ve b birer tam sayı olduğundan |a - 2| ve |b - 4| ifadeleri de pozitif tam sayılardır. Çarpımları 1 olduğuna göre her iki ifade de 1 olmalıdır:
|a - 2| = 1 \implies a - 2 = 1 \text{ veya } a - 2 = -1 \implies a \in \{1, 3\}
|b - 4| = 1 \implies b - 4 = 1 \text{ veya } b - 4 = -1 \implies b \in \{3, 5\}
Adım 2 — İkinci Eşitlikten a ve c Değerlerinin Bulunması
Verilen a + |c - 3| = 1 eşitliğinde mutlak değerli ifade yalnız bırakılırsa:
|c - 3| = 1 - a
Mutlak değerin tanımı gereği |c - 3| \ge 0 olmalıdır. Dolayısıyla 1 - a \ge 0 \implies a \le 1 elde edilir. Bu koşulu sağlayan a değeri:
a = 1 \implies |c - 3| = 1 - 1 = 0 \implies c = 3
Adım 3 — Birbirinden Farklılık Şartı ile b ve Toplamın Hesaplanması
a, b ve c birbirinden farklı tam sayılar olduğundan ve c = 3 bulunduğundan, b değeri 3 olamaz. Dolayısıyla b = 5 olmalıdır.
a = 1, \quad b = 5, \quad c = 3
a + b + c = 1 + 5 + 3 = 9
CEVAP: D) 9 (a + b + c = 9)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Mutlak değerli ifadenin sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olma zorunluluğu (|c - 3| \ge 0), a = 3 değerini doğrudan eler. Ayrıca sorunun başındaki “birbirinden farklı” ifadesi b = 3 çeldiricisinden kaçınmak için belirleyicidir.