a , b ve c asal sayılardır.
a = b^2 - c^2
olduğuna göre (5b^c - c^a) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 8
D) 10
E) 13
Asal Sayılar ve İki Kare Farkı Özdeşliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki kare farkı özdeşliği x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) şeklindedir. Bir asal sayının pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisi olduğundan, aralarındaki fark 1 olan yegâne asal sayı çifti 3 ve 2’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Asal Sayıların Değerlerini Belirleme
Verilen a = b^2 - c^2 eşitliğini iki kare farkı olarak çarpanlarına ayıralım:
a = (b - c)(b + c)
a bir asal sayı olduğu için çarpanlarından küçük olanı 1’e, büyük olanı ise a’ya eşit olmalıdır:
b - c = 1 \quad \text{ve} \quad b + c = a
Farkları 1 olan tek ardışık asal sayılar b = 3 ve c = 2’dir. Buradan a asal sayısı:
a = 3 + 2 = 5
Adım 2 — İstenen İfadenin Değerini Hesaplama
Bulunan a = 5, b = 3 ve c = 2 değerlerini (5b^c - c^a) ifadesinde yerine yazalım:
5b^c - c^a = 5 \cdot (3^2) - 2^5
5 \cdot 9 - 32 = 45 - 32 = 13
CEVAP: E) 13 (5b^c - c^a = 13)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: TYT ve KPSS sorularında iki asal sayının farkı 1 olarak çıkıyorsa, bu sayıların kesinlikle tek çift asal olan 2 ve onun bir fazlası olan 3 olduğunu doğrudan kullanmak zaman kazandırır.