a , b ve c asal sayılar olmak üzere,
5abc - 4b - 10c = 435
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Asal Sayılar ve Bölünebilme ile Denklem Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: 5 ile tam bölünebilen tek asal sayı 5’tir. Denklemdeki terimlerin ortak katları incelenerek bilinmeyenlerden birinin değeri modüler aritmetik veya bölünebilme mantığıyla doğrudan bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — 5 ile Bölünebilme Analizi ile b Değerini Bulma
Verilen 5abc - 4b - 10c = 435 denkleminde 5abc, 10c ve 435 terimleri 5’in tam katıdır. Eşitliğin her iki tarafının 5 ile bölümünden kalanı incelediğimizde:
-4b \equiv 0 \pmod 5 \implies 4b \text{ sayısı } 5\text{'in katı olmalıdır.}
b bir asal sayı olduğundan, 5’in katı olan tek asal sayı b = 5’tir.
Adım 2 — b = 5 Değerini Yerine Yazma ve Sadeleştirme
Denklemde b = 5 yazıp eşitliği düzenleyelim:
5a(5)c - 4(5) - 10c = 435
25ac - 10c - 20 = 435 \implies 25ac - 10c = 455
Eşitliğin her iki tarafını 5’e bölelim:
5ac - 2c = 91
Adım 3 — Ortak Paranteze Alma ve Asal Değerleri Belirleme
Sol tarafı c parantezine alalım:
c(5a - 2) = 91
91 sayısının pozitif çarpanları 1, 7, 13 ve 91’dir. c bir asal sayı olduğuna göre c = 7 veya c = 13 olabilir:
- c = 13 için: 5a - 2 = 7 \implies 5a = 9 (tam sayı gelmez).
- c = 7 için: 5a - 2 = 13 \implies 5a = 15 \implies a = 3 (asal sayıdır).
Buradan a = 3, b = 5 ve c = 7 olarak bulunur.
a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15
CEVAP: E) 15 (a + b + c = 15)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çok bilinmeyenli asal sayı denklemlerinde katsayılara dikkat edin. Terimlerin çoğunda ortak bir asal katsayı (burada 5) varsa, katsayısı farklı olan terim o asala bölünmek zorundadır. Bu yöntem denklemi hızla tek bilinmeyene düşürür.