a, b ve c asal sayılar olmak üzere
a dot b = b dot c + 2
a dot c = b dot d - 2
olduğuna göre a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 11
E) 15
a, b, c Asal Sayıları İçin a + b + c + d Toplamının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Ortak çarpan parantezine alma kuralı: x \cdot y - y \cdot z = y \cdot (x - z)
- Asal sayılar kümesi: \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}
- Aralarındaki fark 1 olan tek ardışık asal sayı çifti (3, 2) çiftidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Eşitliği Düzenleme ve Ortak Çarpan Parantezine Alma
Birinci denklemde b \cdot c ifadesini eşitliğin sol tarafına alıp b parantezine alalım:
a \cdot b - b \cdot c = 2
b \cdot (a - c) = 2
Adım 2 — b, a ve c Asal Sayı Değerlerini Belirleme
b bir asal sayı olduğundan ve 2’nin pozitif bölenleri yalnızca 1 ile 2 olduğundan:
b = 2
olmalıdır. Buradan:
a - c = 1
elde edilir. Farkları 1 olan tek asal sayı ikilisi 3 ve 2’dir. Dolayısıyla:
a = 3
c = 2
bulunur.
Adım 3 — İkinci Eşitlikte Değerleri Yerine Yazarak d Sayısını Bulma
Bulunan a = 3, b = 2 ve c = 2 değerlerini ikinci denklemde yerine yazalım:
a \cdot c = b \cdot d - 2
3 \cdot 2 = 2 \cdot d - 2
6 = 2 \cdot d - 2
2 \cdot d = 8
d = 4
Adım 4 — İstenen Toplamı Hesaplama
Değerlerin hepsini toplayalım:
a + b + c + d = 3 + 2 + 2 + 4 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (11)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Asal Sayı ve Ardışık Asallar
- Tanım: 2, çift olan tek asal sayıdır. Aralarındaki fark 1 olan yegâne asal sayı ikilisi 3 ve 2’dir.
- Bu problemde: b \cdot (a - c) = 2 ifadesinde b=2 ve a - c = 1 eşitlikleri doğrudan bu özellik sayesinde belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
a, b, c Sayılarının Birbirinden Farklı Olduğunu Varsaymak
- Yanlış: Soruda a, b, c için “farklı asal sayılar” denmediği halde b ve c değerlerinin birbirinden farklı olması gerektiğini düşünmek.
- Doğru: Soruda belirtilmediği sürece farklı harfler aynı sayı değerini alabilir (b = 2 ve c = 2).
- Neden yanlış: “Farklı” ibaresi bulunmadığında asal sayıların eşit çıkması matematiksel olarak geçerlidir.
Benzer mantıkta çarpanlara ayırma içeren bir asal sayı sorusu daha çözmemi ister misin?