a , b ve c asal sayılar olmak üzere,
5abc - 4b - 10c = 435
eşitliği veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Asal Sayılar ve Bölünebilme Kuralları ile Denklem Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Asal sayılar kümesinde yalnızca 5 asal sayısı 5’e tam bölünür. Bir eşitlikte terimlerin ortak çarpanları incelenerek (özellikle 5 ile bölünebilme) değişkenlerin alabileceği tekil asal değerler doğrudan belirlenebilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Bölünebilme Kuralı ile b Değerinin Belirlenmesi
Verilen denklemde 4b terimini eşitliğin diğer tarafına alarak inceleyelim:
5abc - 10c - 435 = 4b
Eşitliğin sol tarafındaki 5abc, 10c ve 435 sayılarının her biri 5’in tam katıdır. Dolayısıyla sol taraf 5 ile tam bölündüğünden sağ taraf olan 4b ifadesi de 5’e tam bölünmelidir. b bir asal sayı olduğundan ve \text{EBOB}(4, 5) = 1 olduğundan tek seçenek b = 5’tir.
Adım 2 — b = 5 Değerinin Yerine Yazılması ve Çarpanlara Ayırma
Bulunan b = 5 değerini verilen denklemde yerine yazalım:
5a(5)c - 4(5) - 10c = 435
25ac - 20 - 10c = 435 \implies 25ac - 10c = 455
Eşitliğin her iki tarafını 5 ile sadeleştirelim:
5ac - 2c = 91
Ortak çarpan olan c parantezine alalım:
c(5a - 2) = 91
Adım 3 — 91 Sayısının Asal Çarpanlarına Göre a ve c Değerlerinin Bulunması
91 sayısının çarpanları 1, 7, 13 ve 91’dir. c bir asal sayı olduğundan c = 7 veya c = 13 olmalıdır:
- c = 7 ise: 5a - 2 = 13 \implies 5a = 15 \implies a = 3 (3 bir asal sayıdır, sağlar).
- c = 13 ise: 5a - 2 = 7 \implies 5a = 9 \implies a = \frac{9}{5} (tam sayı ve asal değildir, elenir).
Buradan asal sayılar a = 3, b = 5 ve c = 7 olarak bulunur.
a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15
CEVAP: E) 15 (a + b + c = 15)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Katsayıları arasında ortak çarpan (burada 5) bulunan çok değişkenli Diophant/asal sayı denklemlerinde, ortak çarpana uymayan tekil terimi yalnız bırakmak bilinmeyenlerden birini anında buldurur.