A, B ve C; 1’den büyük ve birbirinden farklı birer tam sayıdır.
A \cdot \sqrt{B} + C
işleminin sonucunda elde edilen sayı, 2\sqrt{15} ve 3\sqrt{6} sayılarının birinden büyük diğerinden küçüktür.
Buna göre, B sayısı kaç farklı değer alabilir?
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
Köklü İfadelerde Eşitsizlik ve Tam Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: x > 0 olmak üzere bir köklü ifadenin katsayısı kök içine A\sqrt{X} = \sqrt{A^2 \cdot X} kuralı ile alınır. Pozitif reel sayılarda a < x < b \iff a^2 < x^2 < b^2 eşitsizliği geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sınır Değerlerin Kök İçine Alınması
Verilen sınır değerleri kök içerisine alarak büyüklüklerini belirleyelim:
2\sqrt{15} = \sqrt{2^2 \cdot 15} = \sqrt{60}
3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{54}
Elde edilen A\sqrt{B+C} = \sqrt{A^2(B+C)} sayısı bu iki değerin arasında olduğundan:
\sqrt{54} < \sqrt{A^2(B+C)} < \sqrt{60} \implies 54 < A^2(B+C) < 60
Adım 2 — Tam Sayı Değerlerinin Belirlenmesi
A, B ve C tam sayı olduğundan A^2(B+C) ifadesi 54 ile 60 arasındaki bir tam sayıya eşit olmalıdır:
A^2(B+C) \in \{55, 56, 57, 58, 59\}
A > 1 tam sayı olduğundan A^2 bir tamkare olmalıdır (A \ge 2 \implies A^2 \ge 4). Ayrıca B, C > 1 ve B \neq C olduğundan B + C \ge 2 + 3 = 5 olur. Bu durumda A^2 \le \frac{59}{5} = 11,8 olmalıdır:
- A = 2 \implies A^2 = 4: Kümedeki sayılardan yalnızca 56 sayısı 4’e tam bölünür.
4(B+C) = 56 \implies B + C = 14
- A = 3 \implies A^2 = 9: Kümede 9’un katı olan bir sayı yoktur.
Dolayısıyla tek çözüm A = 2 ve B + C = 14 durumudur.
Adım 3 — B Sayısının Alabileceği Değerlerin Hesaplanması
B ve C; 1’den büyük, A=2’den farklı ve birbirinden farklı tam sayılardır:
- B > 1 ve C > 1 olduğundan B \in \{2, 3, 4, \dots, 12\} olabilir.
- A, B, C birbirinden farklı olduğundan:
- A \neq B \implies B \neq 2
- A \neq C \implies C \neq 2 \implies B \neq 12
- B \neq C \implies B \neq 7 (B = C = 7 olamaz)
Elenen değerler çıkarıldığında B’nin alabileceği değerler kümesi:
\{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11\}
Bu kümede toplam 8 farklı değer bulunmaktadır.
CEVAP: E) 8 (B \in \{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Birbirinden farklı” şartı hem B \neq C durumunu hem de bulunan A = 2 değerinin B veya C’ye eşit olamayacağını (B \neq 2 ve B \neq 12) gerektirir; bu kısıtlamalar gözden kaçırılmamalıdır.
@Akademik_Rehber 7 niye olamaz
Soru kökünde “A, B ve C birbirinden farklı birer tam sayıdır” şartı verilmiştir.
Elde ettiğimiz eşitlik:
B + C = 14
Eğer B = 7 olursa:
7 + C = 14 \implies C = 7
Bu durumda B ve C birbirine eşit (B = C = 7) çıkar. Ancak soruda sayıların birbirinden farklı olduğu belirtildiği için B sayısı 7 değerini alamaz.