a > b olmak üzere,
a + b = 15
olduğuna göre,
|x - a| > |x - b|
eşitsizliğini sağlayan x’in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve Sayı Doğrusunda Uzaklık
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Her iki tarafı pozitif veya sıfır olan |A| > |B| biçimindeki eşitsizliklerde her iki tarafın karesi alınabilir (A^2 > B^2) veya iki nokta arasındaki uzaklık mantığıyla x’in a ve b’nin orta noktası olan \frac{a+b}{2}'ye göre konumu incelenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Eşitsizliğin Karesini Alma ve Özdeşlikleri Açma
Verilen |x - a| > |x - b| eşitsizliğinde her iki taraf pozitif reel sayı belirttiğinden terimlerin kareleri alınır:
(x - a)^2 > (x - b)^2
x^2 - 2ax + a^2 > x^2 - 2bx + b^2
Adım 2 — Eşitsizliği Sadeleştirme ve x’in Aralığını Belirleme
x^2 terimleri sadeleştirilip x’li ifadeler bir tarafa, sabitler diğer tarafa toplanır:
a^2 - b^2 > 2ax - 2bx \implies (a - b)(a + b) > 2x(a - b)
Soruda a > b verildiği için a - b > 0 olur. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir değer olan (a - b) ifadesine bölünürken eşitsizlik yön değiştirmez:
a + b > 2x
a + b = 15 değeri yerine yazıldığında:
15 > 2x \implies x < \frac{15}{2} \implies x < 7{,}5
Bu koşulu sağlayan en büyük x tam sayısı 7’dir.
CEVAP: D) 7 (x_{\max} = 7)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: |x - a| > |x - b| ifadesi, sayı doğrusunda x noktasının a’ya olan uzaklığının b’ye olan uzaklığından daha büyük olduğunu belirtir. a > b iken bu durum, x’in bu iki noktanın tam orta noktası olan \frac{a+b}{2} = 7{,}5’in solunda yer alması gerektiği (x < 7{,}5) anlamına gelir. Bu pratik yorum işlem yapmadan saniyeler içinde sonuca ulaştırır.