a, b doğal sayı ve a + b = 5 olmak üzere, aşağıda verilen kutuda bulunan bilye sayısı A = 2^a dot 5^b’dir.
A) 4
B) 10
C) 20
D) 40
E) 50
a + b = 5 ve A = 2^a \cdot 5^b Koşulunu Sağlayan Bilye Sayısının (A) Hesaplanması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Doğal sayılar kümesi: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}
- Toplamları 5 olan (a, b) doğal sayı ikilileri: (a, b) \in \{(5,0), (4,1), (3,2), (2,3), (1,4), (0,5)\}
- Üslü ifadeler kuralı: Herhangi bir sıfırdan farklı x sayısı için x^0 = 1’dir.
- Bilye sayısı formülü: A = 2^a \cdot 5^b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a + b = 5 Eşitliğini Sağlayan (a, b) Doğal Sayı Çiftlerini Belirleme
a ve b birer doğal sayı olduğundan negatif değer alamazlar. Toplamı 5 eden tüm olası (a, b) değerleri şunlardır:
- a = 5 için b = 0
- a = 4 için b = 1
- a = 3 için b = 2
- a = 2 için b = 3
- a = 1 için b = 4
- a = 0 için b = 5
Adım 2 — Her Bir Durum İçin A Değerini Hesaplama
-
1. Durum (a = 5, b = 0):
A = 2^5 \cdot 5^0 = 32 \cdot 1 = 32 -
2. Durum (a = 4, b = 1):
A = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80 -
3. Durum (a = 3, b = 2):
A = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200 -
4. Durum (a = 2, b = 3):
A = 2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500 -
5. Durum (a = 1, b = 4):
A = 2^1 \cdot 5^4 = 2 \cdot 625 = 1250 -
6. Durum (a = 0, b = 5):
A = 2^0 \cdot 5^5 = 1 \cdot 3125 = 3125
Adım 3 — Değerlerin Değerlendirilmesi
Kutuda bulunabilecek bilye sayısı (A), yukarıda hesaplanan \{32, 80, 200, 500, 1250, 3125\} değerlerinden birine eşit olmak zorundadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Kutudaki bilye sayısı A \in \{32, 80, 200, 500, 1250, 3125\} değerlerini alabilir. (Sorunun seçeneklerinde bu değerlerden hangisi yer alıyorsa doğru cevap o değerdir; örneğin genellikle 80, 200 veya 500 seçeneklerde yer alır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayı Kümesi
- Tanım: 0’dan başlayıp sonsuza kadar birer birer artarak giden sayılardır (\{0, 1, 2, \dots\}).
- Bu problemde: a veya b değerlerinden biri 0 seçildiğinde 5^0 = 1 veya 2^0 = 1 olabileceği dikkate alınmıştır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma ve Üslü İfade
- Tanım: Bir sayının 2 ve 5 gibi asal çarpanların kuvvetleri biçiminde yazılmasıdır.
- Bu problemde: Kuvvetlerin toplamı sabit (5) tutulduğunda tabanların büyüklüğüne göre sayının alabileceği farklı değerler incelenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
0 Değerini Unutmak
- Yanlış: a ve b’yi sadece pozitif sayma sayıları kabul edip 0’ı dahil etmemek (a=0 veya b=0 durumunu atlamak).
- Doğru: Doğal sayılar kümesi 0’ı kapsar; bu nedenle (5,0) ve (0,5) durumları mutlaka hesaplanmalıdır.
- Neden yanlış: 0 bir doğal sayıdır ve kuralda “pozitif doğal sayı” veya “sayma sayısı” denmediği sürece üs olarak 0 kullanılabilir.
Sorunun altındaki seçenekleri tam olarak netleştirmek veya benzer bir üslü sayı sorusu çözmemi ister misin?