A, b doğal sayı ve a + b = 5 olmak üzere, aşağıda kutuda bulunan bilye sayısı A = 2^a dot 5^b 'dir

Question Answer
1
  1. a, b doğal sayı ve a + b = 5 olmak üzere, aşağıda kutuda bulunan bilye sayısı A = 2^a dot 5^b’dir.
    A) 40
    B) 100
    C) 400
    D) 500

a, b doğal sayı ve a + b = 5 olmak üzere, aşağıda kutuda bulunan bilye sayısı A = 2^a...
a, b doğal sayı ve a + b = 5 olmak üzere, aşağıda kutuda bulunan bilye sayısı A = 2^a...1024×768 60.5 KB

2

a + b = 5 Şartını Sağlayan A = 2^a \cdot 5^b Değerini Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Doğal sayılar kümesi: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}
  • Toplamı 5 olan (a, b) doğal sayı ikilileri: (a, b) \in \{(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0)\}
  • Üslü ifade formülü: A = 2^a \cdot 5^b

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — a+b=5 Şartını Sağlayan Doğal Sayı Çiftlerini Belirleme
a ve b birer doğal sayı olduğu için toplamı 5 olan ikililer şunlardır:

  • a = 0 için b = 5
  • a = 1 için b = 4
  • a = 2 için b = 3
  • a = 3 için b = 2
  • a = 4 için b = 1
  • a = 5 için b = 0

Adım 2 — Her İkili İçin A Değerlerini Hesaplama

  • a = 0, b = 5 \implies A = 2^0 \cdot 5^5 = 1 \cdot 3125 = 3125
  • a = 1, b = 4 \implies A = 2^1 \cdot 5^4 = 2 \cdot 625 = 1250
  • a = 2, b = 3 \implies A = 2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500
  • a = 3, b = 2 \implies A = 2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200
  • a = 4, b = 1 \implies A = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80
  • a = 5, b = 0 \implies A = 2^5 \cdot 5^0 = 32 \cdot 1 = 32

Adım 3 — Şıklardaki Sayıların Asal Çarpanlarını İnceleme

  • A) 40: 40 = 2^3 \cdot 5^1 \implies a = 3, b = 1 \implies a + b = 3 + 1 = 4 \neq 5
  • B) 100: 100 = 2^2 \cdot 5^2 \implies a = 2, b = 2 \implies a + b = 2 + 2 = 4 \neq 5
  • C) 400: 400 = 2^4 \cdot 5^2 \implies a = 4, b = 2 \implies a + b = 4 + 2 = 6 \neq 5
  • D) 500: 500 = 2^2 \cdot 5^3 \implies a = 2, b = 3 \implies a + b = 2 + 3 = 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 500
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N})

  • Tanım: 0’dan başlayarak sonsuza giden pozitif tam sayılar ve sıfırın oluşturduğu kümedir (\{0, 1, 2, 3, \dots\}).
  • Bu problemde: a ve b değerlerinin negatif olamayacağını ve 0 değerini de alabileceğini belirlemede kullanıldı.

2. Asal Çarpanlara Ayırma

  • Tanım: Bir pozitif tam sayının yalnızca asal sayıların çarpımı ve kuvvetleri şeklinde ifade edilmesidir.
  • Bu problemde: Şıklardaki sayıların 2 ve 5 tabanındaki üslerinin toplamının 5 olup olmadığı kontrol edildi.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Doğal Sayıları 1’den Başlatmak

  • Yanlış: a ve b için 0 değerini hesaba katmamak (a, b \ge 1 kabul etmek).
  • Doğru: Doğal sayılar 0’ı da kapsar, bu nedenle a=0 ve b=0 durumları da olası değerlerdir.
  • Neden yanlış: Sayma sayıları (1, 2, 3, \dots) ile doğal sayılar (0, 1, 2, \dots) karıştırıldığında bazı olası durumlar gözden kaçabilir.

Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için benzer bir asal çarpan ve üslü ifade sorusu çözmemi ister misin?

3

cevap D, şıkları çarpanlarına ayırarak bulmak en kolay yontem

4

Harika bir tespit! Şıklardan giderek asal çarpanlara ayırma yöntemi, özellikle süreli sınavlarda (LGS vb.) en hızlı ve pratik çözüm yoludur.

:high_voltage: Şıklardan Gitme Yöntemi (Pratik Çözüm)

Verilen formülde bilye sayısı A = 2^a \cdot 5^b olduğuna göre, şıklardaki sayıları 2 ve 5’in kuvvetleri şeklinde yazıp üsleri toplamının (a + b) 5 olup olmadığına bakarız:

  • A) 40: 40 = 2^3 \cdot 5^1 \implies a + b = 3 + 1 = 4 :cross_mark:
  • B) 100: 100 = 2^2 \cdot 5^2 \implies a + b = 2 + 2 = 4 :cross_mark:
  • C) 400: 400 = 2^4 \cdot 5^2 \implies a + b = 4 + 2 = 6 :cross_mark:
  • D) 500: 500 = 2^2 \cdot 5^3 \implies a + b = 2 + 3 = 5 :white_check_mark:

Bu yöntemle tüm olası (a, b) kombinasyonlarını tek tek yazmak yerine doğrudan sonuca ulaşabiliriz.

Benzer şekilde asal çarpanların üsleri toplamı üzerinden kurgulanan yeni nesil bir LGS deneme sorusu çözmek ister misin?