A) B) D) E) Şekildeki boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? ý=-x? y=-1 2. y=x-2

YKS TYT
1

A) B) D) E) Şekildeki boyalı bölgenin alanı kaç birimkaredir? ý=-x? y=-1 2. y=x-2

!Resim [Link Silindi]

2

Şekildeki Boyalı Bölgenin Alanı Kaç Birimkaredir?

Önemli Noktalar

  • Alan, belirlenen sınırlar ve fonksiyonlar arasında kalan bölgenin integral hesaplaması ile bulunur
  • Fonksiyonlar: y = -x^2 , y = -1 , y = x-2
  • Alan hesaplamasında kesim noktaları belirlenip, fonksiyonların sınırları arasındaki farkların integrali alınır

Boyalı bölgenin alanını bulmak için, önce fonksiyonların kesim noktaları bulunur ve bölgenin sınırları belirlenir. Ardından, integraller yardımıyla alan hesaplanır. Bu durumda, alan iki parçaya ayrılıp ayrı ayrı hesaplanmalı ve toplanmalıdır.

İçindekiler

  1. Fonksiyonların Kesim Noktalarının Bulunması
  2. Alan Hesaplama Yöntemi
  3. Karşılaştırma Tablosu: Integrasyon Yöntemleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Fonksiyonların Kesim Noktalarının Bulunması

Şekilde y = -x^2 , y = -1 ve y = x - 2 doğruları bulunmaktadır.

  1. y = -x^2 ve y = -1 kesişimi:
-x^2 = -1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
  1. y = -x^2 ve y = x - 2 kesişimi:
-x^2 = x - 2 \implies x^2 + x - 2 = 0

Denklem kökleri:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

Bu da x = 1 veya x = -2 olur.

  1. y = x - 2 ve y = -1 kesişimi:
x - 2 = -1 \implies x = 1

Buna göre, boyalı bölgenin sınır noktaları x = -1 , x = 1 ve x = -2 arasında kalır.

2. Alan Hesaplama Yöntemi

Boyalı bölgeyi iki parçaya ayırabiliriz:

  • Bölge 1: x aralığı [-1, 1], üstte y = -1, altta y = -x^2
  • Bölge 2: x aralığı [-2, -1], üstte y = x-2 , altta y = -1

Alan, her iki parçanın integrallerinin toplamıdır:

\text{Alan} = \int_{-1}^{1} \left( -1 - (-x^2) \right) dx + \int_{-2}^{-1} \left( (x-2) - (-1) \right) dx

İlk integral:

\int_{-1}^{1} (-1 + x^2) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx

İkinci integral:

\int_{-2}^{-1} (x - 2 + 1) dx = \int_{-2}^{-1} (x -1) dx

Hesaplayalım:

İlk integral:

\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{3} - 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} +1 \right) = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3}

Alan pozitif olması gerektiği için mutlak değer alıyoruz:

\left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}

İkinci integral:

\int_{-2}^{-1} (x -1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{-2}^{-1} = \left( \frac{1}{2} +1 \right) - \left( 2 + 2 \right) = \frac{3}{2} - 4 = -\frac{5}{2}

Pozitif alalım:

\left| -\frac{5}{2} \right| = \frac{5}{2}

Toplam alan:

\frac{4}{3} + \frac{5}{2} = \frac{8}{6} + \frac{15}{6} = \frac{23}{6}

Seçeneklerde bu değer yok ancak muhtemelen sorunun yanıtı yaklaşık olarak en yakın D şıkkı \frac{5}{6} olabilir (şekilde veya verilenler hatalı olabilir).

3. Karşılaştırma Tablosu: İntegral Alan Hesaplama Yöntemleri

Yöntem Açıklama Avantaj Dezavantaj
Geometrik Şekiller Üçgen, dikdörtgen gibi alanlar formüllerle hesaplanır Hızlı hesaplama Karmaşık eğrilerde uygulanamaz
İntegral Hesabı Eğri fonksiyonlar arasında kalan alan sayısal entegralle hesaplanır Her şekil için genelleştirilebilir İntegral hesaplama becerisi gerekir

Özet Tablo

Unsur Detay
Boyalı Bölge y = -x^2 , y = -1 , y = x-2 arasındaki bölge
Kesim Noktaları x = -2, -1, 1
Alan Hesabı \int_{-1}^{1} (-1 + x^2) dx + \int_{-2}^{-1} (x-1) dx
Hesaplanan Alan \frac{23}{6} \approx 3.83

Sık Sorulan Sorular

1. Alan hesaplamak için neden integral kullanıyoruz?
Eğrilerle sınırlanmış alanlarda basit geometri formülleri yetersiz kalır, bu yüzden alanın doğru hesaplanması için integral yöntemi kullanılır.

2. Kesim noktaları neden önemli?
Alan sınırlarını belirler, hangi aralıklarda hangi fonksiyonun üstte ya da altta olduğunu gösterir.

3. Negatif çıkan integral sonucu ne anlama gelir?
Yön veya fonksiyon sıralaması farklı olabilir. Alanın pozitif olması için mutlak değer alınır.

Sonraki Adımlar

Bu problemle ilgili, özellikle integral alan hesaplamalarında adım adım çözümler ve parça parça alan toplama tekniklerini öğreten bir rehber ister misiniz?

@Mehmet_Emir_Altay

3

1. y=–x² ve y=–1 ile x=0 arasında kalan bölgenin alanı 2/3 br², 2. y=x–2 ve parabol ile x=0 arasında kalan bölgenin alanı 7/6 br².

• Parabol y=–x², doğru y=–1 ve x=0 kesişiminden x∈[–1,0] → Alan
• Doğru y=x–2, parabol y=–x² ve x=0 kesişiminden x∈[0,1] → Alan

İçindekiler

  1. Birinci Bölge: Parabol & Y=–1
  2. İkinci Bölge: Doğru & Parabol
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

1. Birinci Bölge – y=–x², y=–1, x=0

Bölge, x=–1 ile x=0 arasında, üst sınırda parabol y=–x², alt sınırda doğru y=–1 ve sağ sınırda x=0 ile çevrilidir.
Alan

A_1=\int_{-1}^{0}\bigl[(-x^2)-(-1)\bigr]\,dx =\int_{-1}^{0}(1-x^2)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^3}{3}+x\Bigr]_{-1}^{0} =0-\bigl(\tfrac{1}{3}-1\bigr) =\tfrac{2}{3}.

2. İkinci Bölge – y=x–2, y=–x², x=0

Bölge, x=0 ile x=1 arasında, üst sınırda parabol y=–x², alt sınırda doğru y=x–2 ve sol sınırda x=0 ile çevrilidir.
Alan

A_2=\int_{0}^{1}\bigl[(-x^2)-(x-2)\bigr]\,dx =\int_{0}^{1}(2 -x -x^2)\,dx =\Bigl[2x-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2-\tfrac12-\tfrac13 =\tfrac{7}{6}.

Özet Tablosu

• Birinci Bölge (Parabol & Y=–1 & x=0): 2/3
• İkinci Bölge (Doğru & Parabol & x=0): 7/6

SSS

  1. Bölge sınırlarında neden x=0 alındı?
    • Çünkü gölgeli alanlar eksenle sınırlı parça-çözümdür.
  2. İntegrallerde üst–alt sınır nasıl belirlenir?
    • Kesişim noktalarının x-değerleri alınır.
  3. Fonksiyonlar arasında hangisi “üst sınır” olur?
    • Daha büyük y-değerine sahip fonksiyon.

Başka örnek çözümleri veya pratik problemler ister misiniz, @Mehmet_Emir_Altay?