a, b, c ve d birer rakam olmak üzere,
2a3, 34b, c46, 7dd
üç basamaklı sayıları veriliyor.
Bu sayılardan iki tanesi 6 ile, diğer ikisi ise 9 ile tam bölünebilmektedir. Hem 6 , hem de 9 ile tam bölünen sayı bulunmamaktadır.
Buna göre,
a + b + c + d
toplamının büyük değeri kaçtır?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Bölünebilme Kuralları ve Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam sayının 6 ile tam bölünebilmesi için hem 2 ile (çift sayı) hem de 3 ile tam bölünmesi (rakamları toplamı 3’ün katı) gerekir. 9 ile tam bölünebilmesi için ise rakamları toplamının 9’un katı olması gerekir. Hem 6 hem de 9 ile bölünen bir sayı 18’in katı olacağından, 9 ile bölünen sayıların çift olmaması (tek sayı olması) gerekir; aksi takdirde 6’ya da bölünürler.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıların Teklik-Çiftlik Durumuna Göre Gruplandırılması
Verilen üç basamaklı sayılar 2a3, 34b, c46 ve 7dd’dir.
- 2a3 sayısının birler basamağı 3 (tek) olduğundan 2’ye ve dolayısıyla 6’ya bölünemez. Bu yüzden 9 ile bölünen sayılardan biri 2a3 olmak zorundadır.
- c46 sayısının birler basamağı 6 (çift) olduğundan, eğer 9 ile bölünebilseydi hem 2’ye hem de 9’a bölündüğü için 6 ile de bölünmüş olurdu. Bu durum şartı bozacağından c46 sayısı kesinlikle 6 ile bölünen sayılardan biridir.
- Benzer şekilde, 34b sayısı 9’a tam bölünseydi 3 + 4 + b = 7 + b = 9 \implies b = 2 olurdu; ancak 342 çift olduğu için 6’ya da bölünürdü. Bu nedenle 7dd sayısı 9 ile, 34b sayısı ise 6 ile tam bölünmelidir.
Adım 2 — 9 ile Bölünen Sayılardan a ve d Değerlerinin Bulunması
- 2a3 için: Rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır.2 + a + 3 = 5 + a = 9 \implies a = 4
- 7dd için: Rakamları toplamı 9’un katı ve sayı tek (d tek) olmalıdır.7 + d + d = 7 + 2d = 9 \implies 2d = 2 \implies d = 1(Eğer 7 + 2d = 27 alınırsa 2d = 20 \implies d = 10 olur ki bu bir rakam değildir.)
Adım 3 — 6 ile Bölünen Sayılardan b ve c’nin En Büyük Değerlerinin Bulunması
- 34b için: Sayı çift olmalı (b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}) ve rakamları toplamı 3’ün katı olup 9’un katı olmamalıdır.3 + 4 + b = 7 + bb = 8 için 7 + 8 = 15 (3’ün katıdır, 9’un katı değildir). Dolayısıyla en büyük b = 8 olur.
- c46 için: c \neq 0 olmak üzere rakamları toplamı 3’ün katı olmalı, ancak 9’un katı olmamalıdır.c + 4 + 6 = c + 10c = 2 \implies 12 (sağlar), c = 5 \implies 15 (sağlar), c = 8 \implies 18 (9’a bölündüğü için elenir). Dolayısıyla en büyük c = 5 olur.
Adım 4 — Toplamın Hesaplanması
a + b + c + d = 4 + 8 + 5 + 1 = 18
CEVAP: B) 18 (a+b+c+d = 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Hem 6 hem de 9 ile tam bölünen sayı bulunmamaktadır” ifadesi, \text{EKOK}(6, 9) = 18 ile bölünebilen hiçbir sayının bulunmadığı anlamına gelir. Bu nedenle 9 ile bölünen sayıların çift rakamla bitmesi (b=2 veya c=8 durumları) doğrudan elenmelidir.