A, B, C ve D birer asal sayı olmak üzere,
A^2 - B^2 = C \cdot D
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, A + B + C + D toplamı kaçtır?
A) 17
B) 20
C) 21
D) 26
E) 28
İki Kare Farkı ve Asal Sayı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki kare farkı özdeşliği A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) şeklindedir. Bir çarpımın yalnızca iki asal sayının çarpımına (C \cdot D) eşit olabilmesi ve çarpanların 1’den büyük olması durumunda, her bir çarpan doğrudan bu asal sayılara eşit olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Çarpanlara Ayırma ve Asallık İncelemesi
Verilen eşitlikte iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım:
(A - B)(A + B) = C \cdot D
A, B, C, D birer asal sayı ve A > B olduğundan A + B \ge 5’tir.
- Eğer A - B = 1 olsaydı, ardışık tek asal sayılar A = 3 ve B = 2 olurdu. Bu durumda A^2 - B^2 = 5 elde edilir; ancak 5 sayısı iki asalın çarpımı (C \cdot D) olarak yazılamaz (1 \cdot 5 olur, 1 asal değildir).
- Dolayısıyla A - B > 1 olmalıdır. C \cdot D ifadesi iki asal sayının çarpımı olduğundan çarpanlar doğrudan bu asallara karşılık gelir:
A - B = C \quad \text{ve} \quad A + B = D
Adım 2 — Teklik-Çiftlik Durumu ile B Değerinin Belirlenmesi
A ve B sayılarının her ikisi de tek asal sayı olsaydı; farkları olan C = A - B çift sayı olurdu. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan C = 2 ve A = B + 2 bulunurdu. Bu durumda:
D = A + B = (B + 2) + B = 2B + 2 = 2(B + 1)
B \ge 3 için D sayısı 2’den büyük bir çift sayı olacağından asal olamazdı. Bu çelişki nedeniyle B tek sayı olamaz; yani en küçük asal sayı olan B = 2 olmalıdır.
Adım 3 — Asal Sayıların Hesaplanması
B = 2 eşitliği yerine yazıldığında:
C = A - 2 \quad \text{ve} \quad D = A + 2
C, A, D sayıları aralarındaki fark 2 olan ardışık üç tek sayıdır (A - 2, A, A + 2). Ardışık üç tek sayıdan biri mutlaka 3’ün katı olmak zorundadır. Asal olan tek 3’ün katı 3 olduğundan en küçük sayı C = 3 olmalıdır:
- C = 3
- A = 3 + 2 = 5
- D = 5 + 2 = 7
A = 5, B = 2, C = 3, D = 7 değerlerinin tümü asal sayıdır ve 5^2 - 2^2 = 21 = 3 \cdot 7 eşitliğini sağlar.
Adım 4 — Toplamın Bulunması
A + B + C + D = 5 + 2 + 3 + 7 = 17
CEVAP: A) 17 (A + B + C + D = 17)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Aralarındaki fark 2 olan üç tek asal sayı üçlüsü yalnızca (3, 5, 7)'dir. Asal sayı sorularında iki asalın farkı veya toplamı asal ise çift olan tek asal sayı 2’nin devreye girme zorunluluğu en sık test edilen ayırt edici kuraldır.