a < b < c sayıları sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır.
\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{1}{65}
olduğuna göre a + b + c değeri kaçtır?
A) 36
B) 39
C) 42
D) 45
E) 48
Ardışık Tam Sayılarda Rasyonel İfadeler ve Sadeleştirme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık pozitif tam sayılarda ortanca terim diğer iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir (a + c = 2b). Paydalar a \cdot b \cdot c ortak paydasında eşitlendiğinde cebirsel sadeleştirme yapılarak sonuca ulaşılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Paydada Eşitleme ve Payı Düzenleme
a < b < c ardışık pozitif tam sayılar olduğundan b = a + 1 ve c = a + 2’dir. Buradan a + c = 2b ve a + b + c = 3b elde edilir. Sol taraftaki kesirlerin paydalarını abc ortak katında eşitleyelim:
\frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a + b + c}{abc} = \frac{1}{65}
Adım 2 — b Değerini Sadeleştirme ve a \cdot c Çarpımını Bulma
Pay kısmındaki a + b + c yerine 3b yazıp b çarpanlarını sadeleştirelim (b > 0):
\frac{3b}{a \cdot b \cdot c} = \frac{3}{ac} = \frac{1}{65} \implies ac = 3 \times 65 = 195
Adım 3 — Sayıları ve Toplamı Belirleme
a ve c sayıları arasındaki fark c - a = 2’dir. Çarpımları 195 olan ve aralarında 2 fark bulunan pozitif tam sayılar 13 ve 15’tir:
a \cdot (a + 2) = 195 \implies a = 13, \quad b = 14, \quad c = 15
İstenen toplam:
a + b + c = 13 + 14 + 15 = 42
CEVAP: C) 42 (a + b + c = 42)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ardışık üç tam sayının toplamı daima ortanca terimin 3 katına (3b) eşittir. Paydada b çarpanı sadeleştiğinde doğrudan iki bilinmeyenli basit bir çarpanlara ayırma problemine dönüşür.