$a, b, c$ Pozitif Tam Sayıları ve Asal Sayı İfadesinin Analizi

YKS TYT
1

a, b vec birbirinden farkls pozitif tam sayilar olmak
0zere,
ab-ac+ b^{2}-bc
ifadesi asal sayiya eşittir.
Buna göre
1.

(a + c)\cdot b1 (b + c)•a

III.

(a + b)\cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?
A) Yalnz I
B) Yalnız I|
C) Yalnız Ill

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 44.4 KB

2

a, b, c Pozitif Tam Sayıları ve Asal Sayı İfadesinin Analizi

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]

  • Çarpanlara Ayırma: Gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi.
  • Asal Sayı Tanımı: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük sayılardır.
  • Tek/Çift Sayı Kuralları:
    • Tek \times Tek = Tek
    • Tek \times Çift = Çift
    • Tek \pm Tek = Çift

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — İfadeyi Çarpanlara Ayırma
Verilen ab - ac + b^2 - bc ifadesini gruplandıralım:
a(b - c) + b(b - c)
Buradan ortak olan (b - c) parantezine alırsak:
(a + b) \cdot (b - c) sonucuna ulaşırız.

Adım 2 — Asal Sayı Şartını Uygulama
Bu çarpımın sonucu bir asal sayı ise, çarpanlardan biri mutlaka 1 olmalıdır (Çünkü a, b, c pozitif tam sayılardır ve (a + b) toplamı 1’den büyük olmak zorundadır).
Bu durumda:
b - c = 1 olmalıdır. Buradan b = c + 1 sonucuna varırız.
Yani b ve c ardışık tam sayılardır. Ardışık sayılardan biri tek, diğeri çifttir.

Adım 3 — Öncüllerin İncelenmesi

  • I. (a + c) \cdot b ifadesi:
    (a+b) ifadesi asal sayıya eşitti. En küçük asal sayı 2’dir. Eğer a+b=2 ise a=1, b=1 olur ancak soruda “birbirinden farklı” denmiştir. Eğer a+b=3 (tek) ise; b=2, c=1 için a=1 olur (farklılık bozulur). b=2, c=1 ve a=2 desek yine farklılık bozulur.
    Ancak temel kural şudur: b = c+1 olduğu için b ve c zıt işaretlidir (biri T, biri Ç). b çift ise sonuç çifttir, ancak b tek ise sonuç a+c’ye bağlıdır. “Her zaman” çift diyemeyiz.

  • II. (b + c) \cdot a ifadesi:
    b ve c ardışık sayılar olduğundan, biri tek diğeri çifttir. Dolayısıyla toplamları (b + c) her zaman tektir. a sayısı tek olursa sonuç tek çıkar. “Her zaman” çift diyemeyiz.

  • III. (a + b) \cdot c ifadesi:
    (a + b) bir asal sayıdır. b - c = 1 olduğu için b ve c’den biri çift olmak zorundadır.
    Eğer c çift ise, sonuç zaten çifttir.
    Eğer c tek ise, b = c + 1 olduğundan b çift olur.
    (a + b) asal sayısının çift olduğu tek durum 2’dir, ancak a ve b farklı pozitif tam sayılar olduğundan a+b > 2 olmalıdır. Bu yüzden (a + b) her zaman tek bir asal sayıdır.
    (a+b) tek ve c tek olduğunda sonuç tek olur.

Özel Durum Kontrolü:
(a+b) \cdot (b-c) = P (asal). Burada b-c=1.
a+b = P.
I. (a+c) \cdot b
II. (b+c) \cdot a
III. (a+b) \cdot c

Örnek verelim: a=2, b=3, c=2 olamaz (farklı olacaklar).
c=1, b=2 olsun. a+b asal olacaksa a 1 olamaz (farklı), a=3 olabilir (3+2=5 asaldır).
Sayılar: a=3, b=2, c=1.
I. (3+1) \cdot 2 = 8 (Çift)
II. (2+1) \cdot 3 = 9 (Tek) → II elendi.
III. (3+2) \cdot 1 = 5 (Tek) → III elendi.

Başka bir örnek: c=2, b=3 olsun. a+b asal olacaksa a=4 olabilir (4+3=7 asaldır).
Sayılar: a=4, b=3, c=2.
I. (4+2) \cdot 3 = 18 (Çift)
II. (3+2) \cdot 4 = 20 (Çift)
III. (4+3) \cdot 2 = 14 (Çift)

İlk örnekte (II) ve (III) elendiği için sadece I kalır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] A) Yalnız I
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Çarpanlara Ayırma

  • [Tanım:] Bir ifadeyi çarpım durumundaki bileşenlerine ayırma işlemidir.
  • [Bu problemde:] ab-ac+b^2-bc ifadesi (a+b)(b-c) şeklinde yazılarak çözümün anahtarı bulunmuştur.

2. Asal Sayıların Çarpanları

  • [Tanım:] Bir asal sayı sadece 1 \times kendisi şeklinde çarpanlarına ayrılır.
  • [Bu problemde:] Çarpanlardan birinin 1 olmasını sağlayarak b-c=1 bağıntısı elde edilmiştir.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Değer vermeden genel yorum yapmak

  • [Yanlış:] (a+b) asal ise hep tektir deyip geçmek.
  • [Doğru:] a, b, c sayılarının birbirine göre durumlarını (ardışıklık gibi) netleştirip zıt örnekler (counter-examples) aramak.
  • [Neden yanlış:] Tek bir örnekle “her zaman” ifadesi çürütülebilir, bu yüzden a=3, b=2, c=1 gibi küçük sayılarla deneme yapmak hatayı önler.

Bu konuyu pekiştirmek için tek-çift sayıların çarpım ve toplam özellikleriyle ilgili benzer bir soru çözmemi ister misin?