A, b, c Pozitif Tam Sayıları İçin Toplamın En Küçük Değeri

LİSE
1

l;3|-12
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kachr

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 78.2 KB

2

a, b, c Pozitif Tam Sayıları İçin Toplamın En Küçük Değeri

Görseldeki soruda a, b, c harflerinin farklı pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiş ve şu eşitsizlikler verilmiştir:

  1. \frac{a}{b} > \frac{3}{2} \implies 2a > 3b
  2. \frac{b}{c} > \frac{2}{3} \implies 3b > 2c

Bizden istenen ise a + b + c toplamının en az kaç olduğudur.

:light_bulb: [KULLANILAN STRATEJİ:] Toplamın en küçük olması için, katsayısı büyük olan veya zincirleme bağlı olan değişkenlere en küçük uygun değerleri vererek ilerlemeliyiz. a, b, c sayıları birbirinden farklı ve pozitif tam sayılar olmalıdır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — b ve c Arasındaki İlişkiyi Belirleme
En küçük pozitif tam sayıları denemeye c değerinden başlayalım.

  • Eğer c = 1 alırsak: 3b > 2(1) \implies 3b > 2. Bu durumda en küçük b = 1 olur. Ancak a, b, c farklı olmalı, bu yüzden b \neq 1 olmalıdır. Bir sonraki değer b = 2 olur.

Adım 2 — a ve b Arasındaki İlişkiyi Kontrol Etme
b = 2 ve c = 1 değerlerini yerine koyalım:

  • 2a > 3b \implies 2a > 3(2) \implies 2a > 6 \implies a > 3.
  • Bu durumda en küçük a tam sayısı 4 olur.
  • Sayıları kontrol edelim: a=4, b=2, c=1. Hepsi birbirinden farklı ve pozitif tam sayılardır.
  • Toplam: 4 + 2 + 1 = 7.

Adım 3 — Daha Küçük Bir Toplam Mümkün mü? (Kontrol)
b=1 almayı denersek, 3(1) > 2c \implies 3 > 2c olur ve c=1 olması gerekir. Ancak b ve c farklı olmalıdır. Bu yüzden b=1 seçeneği elenir.
Eğer c=2 ve b=3 seçilirse:

  • 3b > 2c \implies 3(3) > 2(2) \implies 9 > 4 (Doğru).
  • 2a > 3b \implies 2a > 3(3) \implies 2a > 9 \implies a > 4.5 \implies a=5.
  • Toplam: 5 + 3 + 2 = 10. (Bu değer 7’den büyüktür).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] a + b + c = 4 + 2 + 1 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Pozitif Tam Sayılar

  • [Tanım:] 1, 2, 3, \dots şeklinde sonsuza giden sayılar kümesidir.
  • [Bu problemde:] a, b, c değerlerinin 0’dan büyük ve tam sayı olması zorunluluğunu ifade eder.

2. Eşitsizlik Çözümü

  • [Tanım:] İçinde > , < , \ge , \le sembolleri bulunan matematiksel ifadelerdir.
  • [Bu problemde:] Paydadan kurtulmak için yapılan içler dışlar çarpımı ile değişkenler arasındaki sınırları belirledik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Farklı Olduklarını Unutmak

  • [Yanlış:] c=1 için b=1 seçmek.
  • [Doğru:] Soruda “farklı” dendiği için a \neq b \neq c kuralına uymak.
  • [Neden yanlış:] Sorunun kökündeki kısıtlamayı ihlal eder.

:cross_mark: Rasyonel Sayı Değerlendirmesi

  • [Yanlış:] a > 4.5 bulduğunda a’yı 4 almak.
  • [Doğru:] 4.5’tan büyük en küçük tam sayı olan 5’i seçmek.

Benzer mantıkla çözülen, toplamın en büyük değerini soran bir soru tipi daha görmek ister misin?