A, B, C kaplarında bakteri sayıları, her saatin sonunda bir önceki sayının katına çıkıyor

LGS
1

A, B, C kaplarında bakteri sayıları, her saatin sonunda bir önceki sayının katına çıkıyor. C kabının başlangıç sayısı silinmiş. Bu sayı 1’den büyük, 100’den küçük 2’nin kuvvetidir. Bir araştırmacı her kabı 1. saatten itibaren ayrı ayrı seçtiği bir saatin sonunda gözleniyor, 3 kapta da aynı sayıda bakteri görüyor, bu sayı 1 milyondan azdır.
A kabı: Başlangıç 2, Her saat sonunda 4 katı
B kabı: Başlangıç 8 kat
C kabı:1 32 kat

A, B, C kaplarında bakteri sayıları, her saatin sonunda bir önceki sayının katına çıkıyor.
A, B, C kaplarında bakteri sayıları, her saatin sonunda bir önceki sayının katına çıkıyor.800×875 159 KB

2

Üslü Sayılarda Kat Artışı ve Ortak Değer Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir kabın başlangıçtaki bakteri sayısı N_0 ve her saat sonundaki artış katı K ise, t saat sonraki bakteri sayısı N(t) = N_0 \cdot K^t formülü ile hesaplanır. Tüm tabanlar 2’nin kuvveti biçiminde yazılarak (4 = 2^2, 8 = 2^3, 32 = 2^5) kaplardaki bakteri sayıları eşitlenir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Kaplardaki Bakteri Sayılarının Üslü İfadelerle Modellenmesi
Verilen bilgilere göre her kabın t saat sonraki bakteri sayısını 2 tabanında yazalım:

  • A Kabı: Başlangıç = 2 = 2^1, her saat 4 katına (2^2) çıkıyor.
    N_A(t_A) = 2^1 \cdot (2^2)^{t_A} = 2^{2t_A + 1}
  • B Kabı: Başlangıç = 4 = 2^2, her saat 8 katına (2^3) çıkıyor.
    N_B(t_B) = 2^2 \cdot (2^3)^{t_B} = 2^{3t_B + 2}
  • C Kabı: Başlangıç değeri C_0 = 2^k (1 < 2^k < 100 \implies k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}), her saat 32 katına (2^5) çıkıyor.
    N_C(t_C) = 2^k \cdot (2^5)^{t_C} = 2^{5t_C + k}

Adım 2 — A ve B Kaplarındaki Ortak Bakteri Sayılarının Belirlenmesi
Üç kaptaki bakteri sayısı birbirine eşit olduğundan 2’nin üsleri de eşit olmalıdır (E = 2t_A + 1 = 3t_B + 2):

  • 2t_A + 1 daima tek sayıdır. Dolayısıyla 3t_B + 2 de tek sayı olmalıdır; bu da t_B’nin tek sayı (1, 3, 5, \dots) olmasını gerektirir.
  • Gözlemlenen bakteri sayısı 1 milyondan az (N < 10^6 \approx 2^{19,93}) olduğundan üs E \le 19 olmalıdır:
    • t_B = 1 \implies E = 3(1) + 2 = 5
    • t_B = 3 \implies E = 3(3) + 2 = 11
    • t_B = 5 \implies E = 3(5) + 2 = 17
      (Bir sonraki t_B = 7 için E = 23 olur ve 2^{23} = 8.388.608 > 10^6 şartı sağlamaz.)

Adım 3 — C Kabının Şartları ile Eşleştirme (5t_C + k = E)
Her kap 1. saatten itibaren gözlemlendiği için t_C \ge 1 ve k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olmalıdır:

  1. E = 5 durumu:

    5t_C + k = 5 \implies t_C \ge 1 \text{ için } k = 0 \text{ olur.}

    Ancak C_0 > 1 dendiğinden k > 0 olmalıdır. Dolayısıyla E = 5 sağlamaz.

  2. E = 11 durumu (N = 2^{11} = 2048):

    5t_C + k = 11
    • t_C = 1 \implies k = 6 \implies C_0 = 2^6 = \mathbf{64} (1 < 64 < 100, sağlar)
    • t_C = 2 \implies k = 1 \implies C_0 = 2^1 = \mathbf{2} (1 < 2 < 100, sağlar)

  3. E = 17 durumu (N = 2^{17} = 131.072 — 1 milyondan küçük en büyük değer):

    5t_C + k = 17
    • t_C = 3 \implies 5(3) + k = 17 \implies k = 2 \implies C_0 = 2^2 = \mathbf{4} (1 < 4 < 100, sağlar)

:white_check_mark: CEVAP:

  • Görülen bakteri sayısı en fazla: 131.072 (2^{17} bakteri)
  • Bu durumda C kabının başlangıçtaki bakteri sayısı: 4 (2^2)
    (Eğer en küçük ortak durum soruluyorsa bakteri sayısı 2048 (2^{11}), C kabının başlangıcı ise 64 veya 2’dir.)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
“1 milyondan az” üst sınırı, üslü sayı dizilerinde üstel büyümeyi sınırlamak için verilir. 2^{10} = 1024 \approx 10^3 ilişkisinden yararlanarak 10^6 \approx (10^3)^2 \approx (2^{10})^2 = 2^{20} kabulüyle en büyük üssün 17 olduğunu saniyeler içinde tespit edebilirsiniz.