10. f(x) = \sqrt{9 - x^2} ve g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} fonksiyonlarını düşünün.
a) f ve g fonksiyonlarının tanımlı olduğu kümeleri belirtiniz.
Çözüm:
1. f(x) = \sqrt{9 - x^2} fonksiyonunun tanım kümesi:
- Karekök içindeki ifade negatif olamaz, yani:
9 - x^2 \geq 0 - Buradan,
x^2 \leq 9 - Yani,
-3 \leq x \leq 3 - f fonksiyonunun tanım kümesi:
D_f = [-3, 3]
2. g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} fonksiyonunun tanım kümesi:
- Paydanın sıfır olmaması gerekir:
x^2 - 4 \neq 0 - Yani,
x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2 - g fonksiyonunun tanım kümesi:
D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}
b) (f - g)(1) ve (f \cdot g)(1) hesaplayınız.
Öncelikle f(1) ve g(1) değerlerini bulalım:
- f(1) = \sqrt{9 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
- g(1) = \frac{1}{1^2 - 4} = \frac{1}{1 - 4} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}
Şimdi işlemleri yapalım:
- (f - g)(1) = f(1) - g(1) = 2\sqrt{2} - \left(-\frac{1}{3}\right) = 2\sqrt{2} + \frac{1}{3}
- (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = 2\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
c) f \circ g (-1) ve g \circ f (2) hesaplayınız.
Öncelikle g(-1) ve f(2) değerlerini bulalım:
- g(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 - 4} = \frac{-1}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
- f(2) = \sqrt{9 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}
Şimdi bileşke fonksiyonları hesaplayalım:
- f \circ g (-1) = f(g(-1)) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \sqrt{9 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{81}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}
- g \circ f (2) = g(f(2)) = g(\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2 - 4} = \frac{\sqrt{5}}{5 - 4} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}
Özet Tablosu
| İşlem | Hesaplama | Sonuç |
|---|---|---|
| D_f (f’nin tanım kümesi) | [-3, 3] | [-3, 3] |
| D_g (g’nin tanım kümesi) | \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} | \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} |
| (f - g)(1) | 2\sqrt{2} + \frac{1}{3} | 2\sqrt{2} + \frac{1}{3} |
| (f \cdot g)(1) | -\frac{2\sqrt{2}}{3} | -\frac{2\sqrt{2}}{3} |
| f \circ g (-1) | \frac{4\sqrt{5}}{3} | \frac{4\sqrt{5}}{3} |
| g \circ f (2) | \sqrt{5} | \sqrt{5} |
Özetle:
- Fonksiyonların tanım kümeleri D_f = [-3,3] ve D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2,2\} olarak bulunur.
- Verilen noktalarda fonksiyon işlemleri ve bileşke fonksiyonlar yukarıdaki gibi hesaplanır.
Eğer başka sorunuz olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! @elif_ozbek
10. f(x) = √(9 – x²) ve g(x) = x/(x² – 4) fonksiyonlarını düşünün.
Table of Contents
- Fonksiyon Tanımları ve Temel Kavramlar
- a) Tanımlı Oldukları Kümeler (Domain)
- b) (f – g)(1) ve (f·g)(1) Hesaplamaları
- c) Bileşke Fonksiyonlar f∘g(−1) ve g∘f(2)
- Özet Tablosu
- Sonuç
1. Fonksiyon Tanımları ve Temel Kavramlar
– f(x) = √(9 – x²)
İçerideki ifade 9 – x² ≥ 0 olmalı.
– g(x) = x/(x² – 4)
Payda sıfır olamaz, yani x² – 4 ≠ 0.
Fonksiyon işlemlerinde
- Toplama/Çıkarma: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
- Çarpma: (f·g)(x) = f(x)·g(x)
- Bileşke: (f∘g)(x) = f(g(x))
2. a) Tanımlı Oldukları Kümeler (Domain)
1. f(x) = √(9 – x²)
- Koşul: 9 – x² ≥ 0 ⇒ x² ≤ 9 ⇒ −3 ≤ x ≤ 3
- Domain(f) = [−3, 3]
2. g(x) = x/(x² – 4)
- Koşul: Payda ≠ 0 ⇒ x² – 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±2
- Domain(g) = ℝ \ {−2, 2}
| Fonksiyon | Tanımlı Olduğu Küme (Domain) |
|---|---|
| f(x) | [−3, 3] |
| g(x) | ℝ \ {−2, 2} |
3. b) (f – g)(1) ve (f·g)(1) Hesaplamaları
Öncelikle x=1 için f ve g değerleri:
- f(1) = √(9 – 1²) = √8 = 2√2
- g(1) = 1/(1² – 4) = 1/(1 – 4) = 1/(−3) = −1/3
(f – g)(1)
(f – g)(1) = f(1) – g(1)
= 2\sqrt2 – (−\tfrac13)
= 2\sqrt2 + \tfrac13
(f·g)(1)
(f·g)(1) = f(1)\cdot g(1)
= 2\sqrt2 \times \bigl(-\tfrac13\bigr)
= -\tfrac{2\sqrt2}{3}
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| (f – g)(1) | 2\sqrt2 + \tfrac13 |
| (f·g)(1) | -\tfrac{2\sqrt2}{3} |
4. c) Bileşke Fonksiyonlar f∘g(−1) ve g∘f(2)
4.1. f∘g(−1) = f(g(−1))
- g(−1) hesapla:
g(-1) = \frac{-1}{(-1)^2 - 4} = \frac{-1}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \tfrac13 - Bu değeri f’e sok:
f\bigl(\tfrac13\bigr) = \sqrt{9 - \bigl(\tfrac13\bigr)^2} = \sqrt{9 - \tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac{81 - 1}{9}} = \sqrt{\tfrac{80}{9}} = \tfrac{\sqrt{80}}{3} = \tfrac{4\sqrt5}{3}
Sonuç:
f∘g(−1) = 4√5/3
4.2. g∘f(2) = g(f(2))
- f(2) hesapla:
f(2) = \sqrt{9 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt5 - g’e aktar:
g\bigl(\sqrt5\bigr) = \frac{\sqrt5}{(\sqrt5)^2 - 4} = \frac{\sqrt5}{5 - 4} = \sqrt5
Sonuç:
g∘f(2) = √5
| Bileşke | Ara Adım Değer | Sonuç |
|---|---|---|
| f∘g(−1) | g(−1)=1/3 | 4√5/3 |
| g∘f(2) | f(2)=√5 | √5 |
5. Özet Tablosu
| Parça | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| a | Domain(f) ve Domain(g) | [−3, 3] ; ℝ{−2,2} |
| b1 | (f – g)(1) | 2√2 + 1/3 |
| b2 | (f·g)(1) | −2√2/3 |
| c1 | f∘g(−1) | 4√5/3 |
| c2 | g∘f(2) | √5 |
6. Sonuç
Bu çözümlerle;
- f fonksiyonunun tanımı [−3,3]
- g fonksiyonunun tanımı \mathbb R\setminus\{−2,2\}
olup, - (f−g)(1) = 2\sqrt2 + \tfrac13
- (f·g)(1) = -\tfrac{2\sqrt2}{3}
- f∘g(−1) = \,\tfrac{4\sqrt5}{3}
- g∘f(2) = \sqrt5
olarak bulunmuştur.