A, B, C, D, E ve F sayılarınin yerine 1, 2, 4, 5, 6, 9 ve 12
sayılarından altı tanesi birer kez kulanıldiğında aşağı-
daki eşitlikler sağlanmaktadır.
Ş= AVB
A) 2
N = C/D
Y = EVF1 N ve Y birer çift sayı ve > N> Y olduğuna göre
en büyük Y değeri için kullanılmayan sayı aşağıda-
kilerden hangisidir?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
A, B, C, D, E ve F Sayılarının Yerine Gelecek Değerlerin Bulunması
KULLANILAN KURALLAR:
Bu soruda kareköklü ifadelerin tam sayı ve çift sayı olma şartlarını inceleyeceğiz. Verilen sayılar kümesi: \{1, 2, 4, 5, 6, 9, 12\}. Eşitlikler ise şöyledir:
- Ş = A\sqrt{B}
- N = C\sqrt{D}
- Y = E\sqrt{F}
Şartlar: Ş, N, Y birer çift tam sayı ve Ş > N > Y.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kareköklü İfadelerin Analizi
Bir ifadenin (X\sqrt{Y}) tam sayı çıkabilmesi için Y sayısının ya tam kare olması ya da kök dışına çıkabilen bir çarpan barındırması gerekir. Verilen kümedeki tam kare sayılar $1, 4, 9$’dur. Köklü kısımlar (\sqrt{B}, \sqrt{D}, \sqrt{F}) için bu sayıları kullanabiliriz. Ayrıca \sqrt{12} = 2\sqrt{3} gibi durumlar da değerlendirilebilir ancak sonuçların çift tam sayı çıkması gerektiği unutulmamalıdır.
Adım 2 — En Büyük Y Değeri İçin Denemeler
Y değerinin en büyük olması istendiği için Ş ve N değerlerinin de oldukça büyük seçilmesi gerekir.
- Ş = A\sqrt{B} için: A=2, B=9 \implies Ş = 2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 (Çift)
- N = C\sqrt{D} için: C=4, D=1 \implies N = 4\sqrt{1} = 4 (Çift)
- Y = E\sqrt{F} için: E=1, F=4 \implies Y = 1\sqrt{4} = 2 (Çift)
Burada sıralama 6 > 4 > 2 (Ş > N > Y) sağlanır. Kullanılan sayılar: \{1, 2, 4, 9\}. Kalanlar: \{5, 6, 12\}. Ancak daha büyük Y değerleri mümkün mü kontrol edelim.
Adım 3 — Maksimum Değerlerin Kontrolü
Daha büyük çift sayılar elde etmek için 12 ve 6 sayılarını kullanalım:
- Ş = 1 \cdot \sqrt{12} tam sayı değildir.
- Ş = 2 \cdot \sqrt{9} = 6
- Ş = 4 \cdot \sqrt{9} = 12 yaparsak:
- Ş = 4 \cdot \sqrt{9} = 12
- N = 5 \cdot \sqrt{4} = 10
- Y = 6 \cdot \sqrt{1} = 6 (En büyük Y=6 oldu)
- Kullanılan sayılar: 4, 9, 5, 4 (4 iki kez kullanıldı, kurala aykırı).
Adım 4 — Sayıları Birer Kez Kullanarak En Uygun Dizilim
Elimizdeki sayılar: 1, 2, 4, 5, 6, 9, 12.
Y değerini büyütebileceğimiz en yüksek geçerli kombinasyon şudur:
- Ş = 6\sqrt{4} = 6 \cdot 2 = 12
- N = 4\sqrt{4} (4 tekrar eder, olmaz)
- Ş = 4\sqrt{9} = 12
- N = 2\sqrt{12} (Tam sayı değil)
- Ş = 2\sqrt{9} = 6, N=4, Y=2 denemiştik.
Y değerini daha büyük (örneğin 4) yapmaya çalışalım:
Ş > N > Y = 4 olmalı. Yani Ş en az 8, N en az 6 olmalı.
- Y = 4 için: E=2, F=4 (2 \cdot 2 = 4) veya E=4, F=1 (4 \cdot 1 = 4).
- E=4, F=1 seçersek; kalanlar: \{2, 5, 6, 9, 12\}.
- N = 6 için: C=2, D=9 (2 \cdot 3 = 6) seçilebilir. Kalanlar: \{5, 12\}.
- Ş için elde kalan 5 ve 12 ile çift sayı elde edilemez.
Tekrar deneyelim:
- Ş = 6\sqrt{1} = 6
- N = 2\sqrt{4} = 4
- Y = 1\sqrt{4} (4 tekrar etti)
En büyük Y değeri için başarılı olan tek tam sayı dizilimi şudur:
- Ş = 12\sqrt{1} = 12 (A=12, B=1)
- N = 2\sqrt{9} = 6 (C=2, D=9)
- Y = 1\sqrt{16} (16 yok) → Y=4 olması için E=2 olmalı ama 2 kullanıldı.
Doğru kombinasyon:
- Ş = 2\sqrt{9} = 6 (A=2, B=9)
- N = 4\sqrt{1} = 4 (C=4, D=1)
- Y = 1\sqrt{4} (Olmaz, 4 tekrar etti)
Eşitlikleri tekrar kurarsak:
- Ş = 6\sqrt{4} = 12 (A=6, B=4)
- N = 4\sqrt{4} (Hatalı)
Verilen kümeden seçilen doğru sayılar:
A=6, B=1 \implies Ş=6
C=2, D=4 \implies N=4
E=1, F=4 (Olmaz)
Kök içleri farklı olmalı:
B=9 \implies \sqrt{9}=3
D=4 \implies \sqrt{4}=2
F=1 \implies \sqrt{1}=1
Değerler:
Ş = A \cdot 3 (Çift olması için A çift olmalı)
N = C \cdot 2 (C herhangi bir sayı olabilir)
Y = E \cdot 1 (E çift olmalı)
Ş > N > Y için:
A=4 \implies Ş = 4 \cdot 3 = 12
C=5 \implies N = 5 \cdot 2 = 10 (Hata: N çift olmalı, 5 \cdot 2 = 10 çifttir, doğru)
E=6 \implies Y = 6 \cdot 1 = 6
Kontrol edelim:
Ş=12, N=10, Y=6. Hepsi çift. 12 > 10 > 6.
Kullanılan sayılar:
A=4, B=9
C=5, D=4 (4 sayısı B ve D için tekrar etti, olmaz)
Yeni Deneme:
B=9, D=1, F tam kare değilse tam sayı çıkmaz. O halde F de bir tam kare olmalı. Kümedeki tam kareler: 1, 4, 9.
B, D, F \in \{1, 4, 9\}.
Kalan sayılar: \{2, 5, 6, 12\}. Bunlar A, C, E olacak.
- B=9 (\sqrt{9}=3), D=4 (\sqrt{4}=2), F=1 (\sqrt{1}=1)
- A=2 \implies Ş = 2 \cdot 3 = 6
- C=6 \implies N = 6 \cdot 2 = 12 (Sıralama bozuldu, Ş < N)
- A=12 \implies Ş = 12 \cdot 1 = 12 (F=1 yerine B=1 olsun)
- C=2 \implies N = 2 \cdot 4 (Kök dışı 2) \implies N=4
- Bu da uymadı.
Doğru Eşleşme:
B=4, D=9, F=1 olsun.
A=6 \implies Ş = 6 \cdot \sqrt{4} = 12
C=2 \implies N = 2 \cdot \sqrt{9} = 6
E=4 (4 kullanıldı)
Sayıları tekrar dizelim:
- Ş = 2 \cdot \sqrt{9} = 6
- N = 4 \cdot \sqrt{1} = 4
- Y = 12 \cdot \sqrt{\text{olmaz}}
Soruda Y değerinin en büyük olması isteniyor.
Eğer B=1, D=4, F=9 seçilirse:
A=12 \implies Ş = 12 \cdot \sqrt{1} = 12
C=5 \implies N = 5 \cdot \sqrt{4} = 10
E=2 \implies Y = 2 \cdot \sqrt{9} = 6
Sıralama: 12 > 10 > 6 (Ş > N > Y) Sağlandı!
Kullanılan Sayılar: 12, 1, 5, 4, 2, 9.
Kullanılmayan Sayı: 6.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kareköklü Sayılar
- Tanım: Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir.
- Bu problemde: Sonucun tam sayı çıkması için kök içindeki sayıların (B, D, F) tam kare (1, 4, 9) olması sağlanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayı Tekrarı
- Yanlış: Aynı sayıyı (örneğin 4) hem katsayı hem kök içi olarak iki kez kullanmak.
- Doğru: Her sayı kümeden sadece bir kez seçilmelidir.
- Neden Yanlış: Soru kökünde “altı tanesi birer kez kullanıldığında” ifadesi yer almaktadır.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir sayı yerleştirme sorusu çözmemi ister misin?
2 olması lazım
A, B, C, D, E ve F Sayılarının Yerine Gelecek Değerlerin Yeniden Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu soruda kareköklü ifadelerin tam sayı ve çift sayı olma şartlarını sağlayan uygun değerleri bulmamız gerekiyor.
Verilen küme: \{1, 2, 4, 5, 6, 9, 12\}
Eşitlikler:
- Ş = A\sqrt{B}
- N = C\sqrt{D}
- Y = E\sqrt{F}
Şartlar: Ş, N, Y birer çift sayı ve Ş > N > Y.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Step 1 — Tam Kare Sayıların Belirlenmesi
Sonuçların (Ş, N, Y) tam sayı çıkabilmesi için kök içindeki sayıların (B, D, F) tam kare olması en pratik yoldur. Kümedeki tam kare sayılar: 1, 4 ve 9.
- \sqrt{1} = 1
- \sqrt{4} = 2
- \sqrt{9} = 3
Step 2 — En Büyük Y Değeri İçin Sayıların Yerleştirilmesi
Y değerinin en büyük olması için Ş ve N değerlerini mümkün olan en büyük çift sayılar yapmalıyız. Elimizdeki katsayı adayları: \{12, 6, 5, 2\}.
- Deneme 1 (Kök içlerini büyükten küçüğe dizelim):
- Y = E\sqrt{F} ifadesinde F=9 olsun (\sqrt{9}=3). Y çift olmalı, E=2 seçersek Y = 2 \times 3 = 6.
- N = C\sqrt{D} ifadesinde D=4 olsun (\sqrt{4}=2). N > 6 ve çift olmalı. C=5 seçersek N = 5 \times 2 = 10.
- Ş = A\sqrt{B} ifadesinde B=1 olsun (\sqrt{1}=1). Ş > 10 ve çift olmalı. A=12 seçersek Ş = 12 \times 1 = 12.
Step 3 — Kullanılan Sayıların Kontrolü
Yukarıdaki dizilimde kullanılan sayılar:
- A=12, B=1 \implies Ş=12
- C=5, D=4 \implies N=10
- E=2, F=9 \implies Y=6
- Kullanılan küme: \{12, 1, 5, 4, 2, 9\}
Bu dizilimde Ş, N, Y çift sayılardır (12, 10, 6) ve 12 > 10 > 6 şartı sağlanmaktadır.
Step 4 — Kullanılmayan Sayının Tespiti
Verilen ana küme: \{1, 2, 4, 5, 6, 9, 12\}
Bizim kullandığımız sayılar: \{1, 2, 4, 5, 9, 12\}
Açıkta kalan (kullanılmayan) sayı: 6.
Step 5 — Alternatiflerin Değerlendirilmesi
Y değerini 6’dan daha büyük (örneğin 8) yapıp yapamayacağımıza bakalım. Y=8 için E=4, F=4 (tekrar) veya başka bir kombinasyon gerekir ancak kümede bunu sağlayacak ve Ş > N > 8 şartını bozmayacak sayılar mevcut değildir. Dolayısıyla en büyük Y=6 değerini veren bu senaryo doğrudur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Kare Sayılar
- Tanım: Bir tam sayının karesi olan sayılardır (1^2=1, 2^2=4, 3^2=9).
- Bu problemde: Kök dışına tam sayı olarak çıkmaları için B, D, F yerine kullanılmışlardır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayı ve Sonuç Karışıklığı
- Hata: Y=2 olduğunu düşünmek.
- Doğru: Adım 2’de görüldüğü üzere Y değeri katsayı (E) ile kökün çarpımıdır. E=2 ve F=9 iken Y=6 olur.
- Neden: Y değerinin en büyük olması istendiği için katsayılar ve kök içleri stratejik dağıtılmalıdır.
Bu çözümdeki sayı yerleştirme mantığını pekiştirmek için benzer bir mantık sorusu sormamı ister misin?