A, B, C,D, E noktaları gösterilmiştir

YKS TYT
1
  1. Aşağıda verilen eş karelere ayrlmiş düzlem üzerinde
    A, B, C,D, E noktaları gösterilmiştir.
    A
    D
    A(ABC1 = A(DBC)
    Köşeleri bu noktalar ile oluşturulan üçgenler için
    I. A(ABE) > A(ACE)
    IL. A(BCE) > A(ABD)
    A) Yalnız I
    öncüllerinden hangileri doğrudur?
    D) Il ve llI
    C
    B) Yalnız Il
    E
    E)1 Nve H

Aşağıda verilen eş karelere ayrlmiş düzlem üzerinde A, B, C,D, E noktaları gösterilmiştir.
Aşağıda verilen eş karelere ayrlmiş düzlem üzerinde A, B, C,D, E noktaları gösterilmiştir.800×926 66.9 KB

2

Eş Kareli Düzlemde Üçgende Alan Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir üçgenin alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
  • Tabanları aynı veya eşit uzunlukta olup yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları eşittir.
  • Analitik düzlemde alan (kutu yöntemi): Şekli çevreleyen dikdörtgenin alanından köşe boşluklarındaki dik üçgenlerin alanları çıkarılır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Eş karelerin bir kenar uzunluğunu 1\text{ birim} kabul edelim ve koordinat sistemini kuralım:

  • A = (0, 1)
  • B = (1, 3)
  • C = (3, 3)
  • D = (x_D, 1) (burada x_D \ge 1)
  • E = (3, 2)

Adım 1 — I. Öncülün İncelenmesi: A(\widehat{ABC}) = A(\widehat{DBC})

  • [BC] kenarı y = 3 yatay doğrusu üzerindedir ve uzunluğu:
    |BC| = 3 - 1 = 2\text{ birim}
  • A ve D noktalarının her ikisi de y = 1 yatay doğrusu üzerindedir.
  • Dolayısıyla her iki noktanın da [BC] tabanına ait yüksekliği:
    h = 3 - 1 = 2\text{ birim}
  • Alanlar hesaplandığında:
    A(\widehat{ABC}) = \dfrac{2 \times 2}{2} = 2\text{ br}^2
    A(\widehat{DBC}) = \dfrac{2 \times 2}{2} = 2\text{ br}^2
  • Tabanları ve bu tabanlara ait yükseklikleri eşit olduğundan alanları eşittir.
    :backhand_index_pointing_right: I. öncül DOĞRUDUR.

Adım 2 — II. Öncülün İncelenmesi: A(\widehat{ABE}) > A(\widehat{ACE})

  • A(\widehat{ACE}) Alanı:
    [CE] kenarı düşey doğrultudadır ve |CE| = 3 - 2 = 1\text{ birim}'dir.
    A(0, 1) noktasının CE doğrusuna (x = 3) olan dik uzaklığı (yükseklik):

    h = 3 - 0 = 3\text{ birim}
    A(\widehat{ACE}) = \dfrac{1 \times 3}{2} = 1{,}5\text{ br}^2

  • A(\widehat{ABE}) Alanı:
    Köşeleri A(0, 1), B(1, 3), E(3, 2) olan üçgeni çevreleyen [0, 3] \times [1, 3] dikdörtgeninin alanı:

    A_{\text{dikdörtgen}} = 3 \times 2 = 6\text{ br}^2

    Dışta kalan dik üçgenlerin alanları:

    • Sol üst: \dfrac{1 \times 2}{2} = 1\text{ br}^2
    • Sağ üst: \dfrac{2 \times 1}{2} = 1\text{ br}^2
    • Alt: \dfrac{3 \times 1}{2} = 1{,}5\text{ br}^2
    A(\widehat{ABE}) = 6 - (1 + 1 + 1{,}5) = 2{,}5\text{ br}^2

  • 2{,}5\text{ br}^2 > 1{,}5\text{ br}^2 olduğundan A(\widehat{ABE}) > A(\widehat{ACE}) eşitsizliği sağlanır.
    :backhand_index_pointing_right: II. öncül DOĞRUDUR.

Adım 3 — III. Öncülün İncelenmesi: A(\widehat{BCE}) > A(\widehat{ABD})

  • \widehat{BCE} üçgeninde BC \perp CE olduğundan dik üçgendir:

    A(\widehat{BCE}) = \dfrac{|BC| \times |CE|}{2} = \dfrac{2 \times 1}{2} = 1\text{ br}^2

  • \widehat{ABD} üçgeninde taban y = 1 doğrusu üzerindeki [AD] doğru parçasıdır.
    B(1, 3) noktasının bu tabana ait yüksekliği:

    h = 3 - 1 = 2\text{ birim}
    A(\widehat{ABD}) = \dfrac{|AD| \times 2}{2} = |AD|\text{ br}^2

  • Şekilde D noktası A’dan en az 1\text{ birim} uzaktadır (|AD| \ge 1), dolayısıyla:

    A(\widehat{ABD}) \ge 1\text{ br}^2

  • Bu durumda A(\widehat{BCE}) > A(\widehat{ABD}) ifadesi (1 > |AD|) sağlanamaz.
    :backhand_index_pointing_right: III. öncül YANLIŞTIR.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C şıkkı (I ve II)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Paralel Doğrular Arasında Alan: İki paralel doğru arasında tabanı sabit tutulan üçgenin tepe noktası paralel doğru üzerinde nereye kaydırılırsa kaydırılsın alanı değişmez.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Eğik üçgenlerin (örneğin \widehat{ABE}) kenar uzunluklarını Pisagor ile bulup karmaşık formüllerle alanı hesaplamaya çalışarak vakit kaybetmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Izgara üzerindeki eğik üçgenleri bir dikdörtgen içerisine hapsedip köşe boşluklarındaki dik üçgenleri çıkarmak (kutu yöntemi) işlemi çok hızlandırır.

Bu soru tipinde kutulama (çevreleyen dikdörtgen) yöntemini pekiştirmek için benzer bir alan sorusu çözmek ister misin?