A B C D E F Ahmet, Burak ve Can'ın sırasıyla , ve aralıklarında bir noktaya ok attıkları bilinmektedir

YKS TYT
1

Aşağıdaki şekilde verilen şerit biçimindeki bir hedefe Ahmet, Burak ve Can aynı anda ok atmıştır.
A B C D E F
Ahmet, Burak ve Can’ın sırasıyla [AC], [BE] ve [DF] aralıklarında bir noktaya ok attıkları bilinmektedir.
|AB| = 25 birim, |CE| = 30 birim, |DF| = 40 birim ve |EB| = 45 birim olduğuna göre herhangi iki kişinin aynı renkli bölgelere ok atma olasılığı kaçtır?
A) \frac{5}{36}
B) \frac{7}{36}
C) \frac{11}{36}
D) \frac{17}{72}
E) \frac{13}{72}

verilen şerit biçimindeki bir hedefe Ahmet, Burak ve Can aynı anda ok atmıştır.
verilen şerit biçimindeki bir hedefe Ahmet, Burak ve Can aynı anda ok atmıştır.794×604 86.8 KB

2

Şerit Biçimindeki Hedefte Herhangi İki Kişinin Aynı Renkli Bölgeye Ok Atma Olasılığı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Geometrik Olasılık: Bir olayın gerçekleşme olasılığı, hedeflenen bölgenin uzunluğunun toplam aralık uzunluğuna oranıdır:
    P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen Aralık Uzunluğu}}{\text{Toplam Aralık Uzunluğu}}
  • Bağımsız Olayların Birlikte Olma Olasılığı: P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y)
  • Ayrık Olayların Birleşimi: P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şerit Üzerindeki Her Bir Renkli Bölgenin Uzunluklarını Bulma
Verilen uzunlukları sırasıyla inceleyelim:

  • |AB| = 25\text{ birim} (Mavi bölge)
  • |EB| = 45\text{ birim} ve |CE| = 30\text{ birim} olduğundan:
    |BC| = |EB| - |CE| = 45 - 30 = 15\text{ birim}\quad (\text{Yeşil bölge})
  • |EF| = 30\text{ birim} (Mor bölge)
  • |DF| = 40\text{ birim} ve |EF| = 30\text{ birim} olduğundan:
    |DE| = |DF| - |EF| = 40 - 30 = 10\text{ birim}\quad (\text{Sarı bölge})
  • |CE| = 30\text{ birim} ve |DE| = 10\text{ birim} olduğundan:
    |CD| = |CE| - |DE| = 30 - 10 = 20\text{ birim}\quad (\text{Turuncu bölge})

Bölgelerin Uzunluk Özeti:

  • [AB] (Mavi) = 25\text{ birim}
  • [BC] (Yeşil) = 15\text{ birim}
  • [CD] (Turuncu) = 20\text{ birim}
  • [DE] (Sarı) = 10\text{ birim}
  • [EF] (Mor) = 30\text{ birim}

Adım 2 — Kişilerin Atış Yaptığı Aralıklar ve Bölge Olasılıkları

  1. Ahmet [AC] aralığına atış yapıyor:

    • Toplam uzunluk: |AC| = |AB| + |BC| = 25 + 15 = 40\text{ birim}
    • P(\text{Ahmet} \rightarrow \text{Mavi}) = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}
    • P(\text{Ahmet} \rightarrow \text{Yeşil}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}

  2. Burak [BE] aralığına atış yapıyor:

    • Toplam uzunluk: |BE| = 45\text{ birim}
    • P(\text{Burak} \rightarrow \text{Yeşil}) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
    • P(\text{Burak} \rightarrow \text{Turuncu}) = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}
    • P(\text{Burak} \rightarrow \text{Sarı}) = \frac{10}{45} = \frac{2}{9}

  3. Can [DF] aralığına atış yapıyor:

    • Toplam uzunluk: |DF| = 40\text{ birim}
    • P(\text{Can} \rightarrow \text{Sarı}) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}
    • P(\text{Can} \rightarrow \text{Mor}) = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}

Adım 3 — Herhangi İki Kişinin Aynı Renkli Bölgeye Ok Atma Durumlarının Hesaplanması

Ortak renkli bölgeler incelendiğinde:

  • Durum 1: Ahmet ve Burak’ın aynı renge (Yeşil) atması:
    Can yeşil bölgeye atış yapamayacağı için sadece bu iki kişi yeşil bölgede eşleşebilir.

    P(\text{Ahmet ve Burak Yeşil}) = P(\text{Ahmet} \rightarrow \text{Yeşil}) \cdot P(\text{Burak} \rightarrow \text{Yeşil}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{8}

  • Durum 2: Burak ve Can’ın aynı renge (Sarı) atması:
    Ahmet sarı bölgeye atış yapamayacağı için sadece bu iki kişi sarı bölgede eşleşebilir.

    P(\text{Burak ve Can Sarı}) = P(\text{Burak} \rightarrow \text{Sarı}) \cdot P(\text{Can} \rightarrow \text{Sarı}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

  • (Not: Ahmet ile Can’ın ortak bir bölgesi yoktur ve üçünün aynı anda aynı renge atması mümkün değildir.)

Adım 4 — Toplam Olasılığın Hesaplanması

Burak aynı anda hem Yeşil hem de Sarı bölgeye atış yapamayacağı için bu iki durum ayrık olaylardır:

P(\text{Toplam}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{18}

Paydalar 72’de eşitlenirse:

P(\text{Toplam}) = \frac{9}{72} + \frac{4}{72} = \frac{13}{72}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{\frac{13}{72}} (E şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Geometrik Olasılık

  • Tanım: Sürekli bir aralıkta seçilen bir noktanın istenen alt aralıkta olma olasılığı, uzunlukların birbirine oranı ile bulunur.
  • Bu problemde: Ahmet, Burak ve Can’ın kendi aralıkları içerisindeki alt renkli parçalara isabet ettirme olasılıkları parça uzunluğunun toplam uzunluğa bölünmesiyle hesaplandı.

2. Ayrık Olaylar (Mutually Exclusive Events)

  • Tanım: Aynı anda gerçekleşmesi imkansız olan olaylardır.
  • Bu problemde: Burak aynı anda iki farklı bölgeye atış yapamayacağı için iki durumun olasılıkları doğrudan toplandı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Uzunlukları Yanlış Parçalamak

  • Yanlış: Verilen uzunlukları doğrudan toplam aralık kabul edip alt parçaları eksik hesaplamak.
  • Doğru: |BC|, |CD|, |DE| gibi kesişen doğru parçası uzunluklarını çıkarma işlemleriyle adım adım netleştirmek.
  • Neden yanlış: Alt parça uzunlukları doğru bulunmazsa her bir kişinin kendi içindeki isabet olasılığı hatalı çıkar.

Benzer tipte bir geometrik olasılık sorusu ile pratik yapmak ister misiniz?