(a_{n}) aritmetik dizisinde,
2a_{3} + a_{8} = 37
3a_{3} + a_{6} = 42
olduğuna göre, bu dizinin 5. terimi kaçtır?
A) 7
B) 9
C) 10
D) 12
E) 13
Aritmetik Dizide Terim Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir aritmetik dizinin genel terim formülü:
a_{n} = a_{1} + (n - 1)d
(Burada a_{1} ilk terim, d ise dizinin ortak farkıdır.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen terimleri a_{1} ve d cinsinden yazma
Dizideki terimleri ilk terim (a_{1}) ve ortak fark (d) cinsinden ifade edelim:
- a_{3} = a_{1} + 2d
- a_{8} = a_{1} + 7d
- a_{6} = a_{1} + 5d
Adım 2 — Birinci denklemi düzenleme
2a_{3} + a_{8} = 37 eşitliğinde terimleri yerine yazalım:
2(a_{1} + 2d) + (a_{1} + 7d) = 37
2a_{1} + 4d + a_{1} + 7d = 37
3a_{1} + 11d = 37 \quad \text{--- (1. Denklem)}
Adım 3 — İkinci denklemi düzenleme
3a_{3} + a_{6} = 42 eşitliğinde terimleri yerine yazalım:
3(a_{1} + 2d) + (a_{1} + 5d) = 42
3a_{1} + 6d + a_{1} + 5d = 42
4a_{1} + 11d = 42 \quad \text{--- (2. Denklem)}
Adım 4 — Ortak fark (d) ve ilk terimi (a_{1}) bulma
İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(4a_{1} + 11d) - (3a_{1} + 11d) = 42 - 37
a_{1} = 5
Bulunan a_{1} = 5 değerini 1. denklemde yerine yazalım:
3(5) + 11d = 37
15 + 11d = 37
11d = 22 \implies d = 2
Adım 5 — 5. terimi (a_{5}) hesaplama
Genel terim formülünden:
a_{5} = a_{1} + 4d
a_{5} = 5 + 4 \cdot 2 = 5 + 8 = 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aritmetik Dizi: Ardışık terimleri arasındaki farkı sabit olan dizidir. Tüm terimler a_1 ve ortak fark d türünden tek değişkene indirgenebilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: a_8 yerine a_1 + 8d yazmak (n yerine n-1 yazmayı unutmak).- Doğru Yaklaşım: n. terim için katsayının her zaman (n-1)d olduğunu dikkate almak.
Benzer bir aritmetik dizi sorusuyla bu konuyu pekiştirmek ister misin?