ing
12. Bir a, aritmetik dizisindelo nok
a,-a tay = 14ioiD A
a4 t a5_ 37e Onsnle
olduğuna göre a, kaçtır?
A) 14
B) 15
c) 16
D) 17
E) 18
Soru Fotoğrafı:
Bir aritmetik dizide verilen ifadelerden a_4 kaçtır?
Kullanılan Formül:
Aritmetik dizide
- a_n = a_1 + (n-1)d
- Bu yüzden:
- a_2 = a_4 - 2d
- a_5 = a_4 + d
- a_3 = a_4 - d
Çözüm Adımları:
Adım 1 — İlk denklemi yazalım
Verilen:
a_2 - a_4 + a_5 = 14
Yerine koyarsak:
(a_4 - 2d) - a_4 + (a_4 + d) = 14
Düzenleyelim:
a_4 - d = 14
Adım 2 — İkinci denklemi yazalım
Verilen:
\frac{a_4 + a_5}{a_5 - a_3} = \frac{37}{6}
Yerine koyarsak:
\frac{a_4 + (a_4 + d)}{(a_4 + d) - (a_4 - d)} = \frac{37}{6}
Pay ve paydayı sadeleştirelim:
\frac{2a_4 + d}{2d} = \frac{37}{6}
İçler-dışlar çarpımı yapalım:
6(2a_4 + d) = 37(2d)
12a_4 + 6d = 74d
12a_4 = 68d
6a_4 = 34d
3a_4 = 17d
Adım 3 — İki denklemi birlikte çözelim
İlk denklemden:
a_4 - d = 14 \Rightarrow a_4 = 14 + d
Bunu 3a_4 = 17d içinde kullanalım:
3(14 + d) = 17d
42 + 3d = 17d
42 = 14d
d = 3
Şimdi:
a_4 = 14 + 3 = 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: D) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
1. Aritmetik dizi
- Tanım: Ardışık terimler arasındaki fark sabittir.
- Bu problemde: Terimler a_4 cinsinden yazıldı.
2. Yerine koyma yöntemi
- Tanım: Bilinen terimler, ortak fark kullanılarak ifade edilir.
- Bu problemde: a_2, a_3, a_5 terimleri a_4 ve d ile yazıldı.
Sık Yapılan Hatalar:
İşaret hatası
- Yanlış: a_3 = a_4 + d yazmak
- Doğru: a_3 = a_4 - d
- Neden yanlış: Aritmetik dizide geriye gidildikçe terim azalır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Bir aritmetik dizide a_4 kaçtır?
Kullanılan formül ve tanımlar:
Aritmetik dizide genel terim:
a_n = a_1 + (n-1)d
Burada d ortak farktır.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Verilenleri yazalım:
a_2 - a_4 + a_5 = 14 \quad (1)
\frac{a_4 + a_5}{a_5 - a_3} = \frac{37}{6} \quad (2)
Adım 2 — Terimleri a_1 ve d cinsinden yazalım:
a_2 = a_1 + d
a_3 = a_1 + 2d
a_4 = a_1 + 3d
a_5 = a_1 + 4d
Adım 3 — (1) eşitliğine yerine koy:
(a_1 + d) - (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 14
a_1 + d - a_1 - 3d + a_1 + 4d = 14
a_1 + (d - 3d + 4d) = 14
a_1 + 2d = 14 \quad (3)
Adım 4 — (2) eşitliğinde yerine koy:
\frac{a_4 + a_5}{a_5 - a_3} = \frac{37}{6}
\frac{(a_1 + 3d) + (a_1 + 4d)}{(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d)} = \frac{37}{6}
\frac{2a_1 + 7d}{2d} = \frac{37}{6}
Adım 5 — Eşitliği çözelim:
\frac{2a_1 + 7d}{2d} = \frac{37}{6}
\Rightarrow 6(2a_1 + 7d) = 37 \times 2 d
12 a_1 + 42 d = 74 d
12 a_1 = 74 d - 42 d
12 a_1 = 32 d
a_1 = \frac{32}{12} d = \frac{8}{3} d \quad (4)
Adım 6 — (3) denkleminde a_1 yerine yaz:
a_1 + 2d = 14
\Rightarrow \frac{8}{3} d + 2 d = 14
\frac{8}{3} d + \frac{6}{3} d = 14
\frac{14}{3} d = 14
d = \frac{14 \times 3}{14} = 3
Adım 7 — a_1 bulun:
a_1 = \frac{8}{3} \times 3 = 8
Adım 8 — a_4 bulun:
a_4 = a_1 + 3 d = 8 + 3 \times 3 = 8 + 9 = 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: a_4 = 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
- Aritmetik dizi: Farkı sabit olan sayı dizisi.
- Genel terim formülü: a_n = a_1 + (n-1)d
- Verilenlerden bilinmeyenler çıkarılır ve denklem kurulur.
Yaygın Hatalar:
Ortak farkı atlamak
- Doğru: Her terimi genel formül ile açmak
- Yanlış: Direk terimleri kullanmak bazen çözümü zorlaştırır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?