A = 400 , b = 8000 ve c = 3 200 000 sayılarını aynı sütun grafiğinde yukarıdaki gibi gösteren Erhan, sayılar arasındaki

Question Answer
1

a = 400 , b = 8000 ve c = 3 200 000 sayılarını aynı sütun grafiğinde yukarıdaki gibi gösteren Erhan, sayılar arasındaki farklar çok büyük olduğu için grafiği beğenmemiş ve daha önce benzer bir grafik çizen arkadaşı Gizem’e danışınca aralarında aşağıdaki konuşma geçmiştir.
Gizem: a , b ve c sayılarının logaritmalarını al, grafikte onları göster.
Erhan: İyi fikir! Hangi tabana göre?
Gizem: 1’den büyük herhangi bir tam sayıya göre alabilirsin.
Bu fikri uygulayarak küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir sütun grafiği çizen Erhan, ortadaki sütunu 6 cm yüksekliğinde bir dikdörtgenle gösterdiğine göre Erhan’ın diğer iki sütunu gösterdiği dikdörtgenlerin yükseklikleri toplamı kaç cm’dir?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

2

Logaritma Özellikleri ve Sütun Grafiği Ölçeklendirmesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Farklı tabanlardaki logaritmaların oranı taban değiştirme kuralı gereğince tabandan bağımsızdır:

\frac{\log_k(x)}{\log_k(y)} = \frac{\ln x}{\ln y} = \log_y(x)

Bir sütun grafiğinde sütun yükseklikleri logaritmik değerlerle doğru orantılı olarak çizildiğinde, seçilen taban ne olursa olsun yüksekliklerin birbirine oranı sabit kalır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Verilen Sayıların Üslü İfade Olarak Yazılması
Grafikte verilen a, b ve c sayıları ortak bir taban olan 20 cinsinden ifade edilebilir:

  • a = 400 = 20^2
  • b = 8000 = 20^3
  • c = 3\,200\,000 = 32 \times 10^5 = 2^5 \times 10^5 = 20^5

Küçükten büyüğe sıralama a < b < c olduğundan, ortadaki sütun b sayısıdır.

Adım 2 — Logaritmik Değerlerin Oranlarının Belirlenmesi
20 tabanına göre (veya orantı korunduğu için 1’den büyük herhangi bir tabana göre) sayıların logaritmik değerleri:

\log_{20}(a) = \log_{20}(20^2) = 2
\log_{20}(b) = \log_{20}(20^3) = 3
\log_{20}(c) = \log_{20}(20^5) = 5

Bu durumda sütun yükseklikleri sırasıyla 2k, 3k ve 5k ile orantılıdır.

Adım 3 — Sütun Yüksekliklerinin Hesaplanması
Ortadaki sütun (b sayısı) 6\text{ cm} olarak gösterilmiştir:

3k = 6\text{ cm} \implies k = 2\text{ cm}

Buna göre diğer iki sütunun yükseklikleri:

  • h_a = 2k = 2 \times 2 = 4\text{ cm}
  • h_c = 5k = 5 \times 2 = 10\text{ cm}

Diğer iki sütunun yükseklikleri toplamı:

h_a + h_c = 4 + 10 = 14\text{ cm}

:white_check_mark: CEVAP: E) 14 (h_a + h_c = 14\text{ cm})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Gizem’in “1’den büyük herhangi bir tam sayıya göre alabilirsin” demesinin nedeni, taban değiştirme kuralı gereği logaritma tabanı ne seçilirse seçilsin sütun boylarının oranının (2 : 3 : 5) asla değişmeyecek olmasıdır. Sayıların 20’nin kuvvetleri olduğunu görmek soruyu doğrudan çözdürür.