A = (4 – sin x)/3 ve B = (2 + cos y)/5 için A'nın alacağı en büyük değer ile B'nin alacağı en küçük değerin toplamı nedir?

YKS TYT
1

IMG-20260131-WA0007
IMG-20260131-WA00072048×1536 109 KB

2

A’nın En Büyük Değeri ile B’nin En Küçük Değeri Toplamı Nedir?

Önemli Noktalar

  • A fonksiyonu \frac{4 - \sin x}{3} şeklindedir ve A’nın en büyük değeri, \sin x’in aldığı en küçük değerle doğru orantılıdır.
  • B fonksiyonu \frac{2 + \cos y}{5} şeklindedir ve B’nin en küçük değeri, \cos y’nin aldığı en küçük değerle ilişkilidir.
  • \sin x ve \cos y fonksiyonlarının değer aralıkları [-1, 1] arasında değişir.

İçindekiler

  1. A’nın En Büyük Değerinin Hesaplanması
  2. B’nin En Küçük Değerinin Hesaplanması
  3. Toplamının Bulunması
  4. Sonuç ve Doğru Şık

1. A’nın En Büyük Değerinin Hesaplanması

A = \frac{4 - \sin x}{3}

\sin x fonksiyonunun değeri [-1,1] aralığında olduğundan, 4 - \sin x en büyük değerini \sin x en küçük olduğunda alır. Yani:

  • \sin x minimum: -1
  • 4 - \sin x = 4 - (-1) = 5

Bu durumda:

A_\text{max} = \frac{5}{3}

:light_bulb: Pro Tip: Sinüsün minimum değerini kullanarak payın maksimum olmasını sağladık.

2. B’nin En Küçük Değerinin Hesaplanması

B = \frac{2 + \cos y}{5}

\cos y fonksiyonu da [-1, 1] aralığındadır. En küçük değeri, \cos y minimum olduğunda olur:

  • \cos y = -1
  • 2 + \cos y = 2 - 1 = 1

Böylece:

B_\text{min} = \frac{1}{5}

:light_bulb: Pro Tip: Kosinüsün minimum değerini kullanarak B’nin değerini minimize ettik.

3. Toplamının Bulunması

A_\text{max} + B_\text{min} = \frac{5}{3} + \frac{1}{5} = \frac{25}{15} + \frac{3}{15} = \frac{28}{15}

Sonuç

Doğru cevap D şıkkı: \frac{28}{15}

Sık Sorulan Sorular

1. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları neden [-1,1] aralığında değer alır?
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları birim daire tanımlar ve daire üzerindeki koordinatlar olarak alınırlar, bu yüzden değerleri her zaman -1 ile 1 arasında değişir.

2. Eğer A’nın en küçük değeri ve B’nin en büyük değerini isteseydik ne yapmalıydık?
A’nın payında -\sin x olduğu için minimum için \sin x’in maksimum değerini, B için ise \cos y’nin maksimum değerini kullanırdık.

3. Neden paydaki ve paydadaki değişkenlerin aldığı değerler önemli?
Fonksiyonun arttığı veya azaldığı aralığı belirlemek için, fonksiyondaki değişkenlerin alabileceği minimum ve maksimum değerleri bilmek gerekir.

Sonraki Adımlar

Sana bu tür fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini bulman için grafik çizerek veya türev ile çözüm yöntemlerini gösterebilir miyim?

@Meral_Bektas

3

A = (4 – sin x)/3 ve B = (2 + cos y)/5 için A’nın alacağı en büyük değer ile B’nin alacağı en küçük değerin toplamı nedir?

Temel Çıkarımlar

  • \sin x\in[-1,1] olduğundan, \sin x en küçük -1 değerini alır.
  • \cos y\in[-1,1] olduğundan, \cos y en küçük -1 değerini alır.
  • A’nın en büyük değeri (4-(-1))/3=5/3, B’nin en küçük değeri (2+(-1))/5=1/5 olur.

A’nın en büyük değeri 5/3, B’nin en küçük değeri 1/5 olduğuna göre toplamları

\frac{5}{3} + \frac{1}{5} = \frac{25 + 3}{15} = \frac{28}{15}.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. A ifadesi için:
    • \sin x\in[-1,1] ⇒ en küçük \sin x=-1
    • A_{\max}=\dfrac{4 - (-1)}{3}=\dfrac{5}{3}
  2. B ifadesi için:
    • \cos y\in[-1,1] ⇒ en küçük \cos y=-1
    • B_{\min}=\dfrac{2 + (-1)}{5}=\dfrac{1}{5}
  3. Toplam:
    A_{\max} + B_{\min} = \frac{5}{3} + \frac{1}{5} = \frac{28}{15}.

Karşılaştırma Tablosu

Fonksiyon İfade Min Değeri Max Değeri
A (4 - \sin x)/3 1 5/3
B (2 + \cos y)/5 1/5 3/5

Özet Tablosu

Değer Sonuç
A’nın en büyük değeri 5/3
B’nin en küçük değeri 1/5
Toplam 28/15

SSS

  1. Neden \sin x\in[-1,1] aralığında değişir?
    Birim çember tanımından \sin ve \cos fonksiyonları her zaman [-1,1] aralığındadır.
  2. A’nın en küçük değeri nedir?
    En büyük \sin x=1 alınırsa A_{\min}=(4-1)/3=1.
  3. B’nin en büyük değeri nedir?
    En büyük \cos y=1 alınırsa B_{\max}=(2+1)/5=3/5.

Bu tip sinüs ve kosinüs aralık problemlerine yönelik 3 adet pratik soru ister misiniz?
@Meral_Bektas