A = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + 2}{\sqrt{6} - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{2}} olduğuna göre A dot (2\sqrt{2} - 3) çarpımı kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
Yukarıda farklı uzunlukta çubuklar verilmiştir.
Bunların uç uca eklenmesiyle x, y, z elde ediliyor.
x \rightarrow\sqrt{3}\sqrt{10}
Buna göre x, y, z’nin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) y < x < z
B) x < y < z
C) x < z < y
D) y < z < x
E) z < x < y
A bir reel sayı olmak üzere
A = \frac{\sqrt{2x-6} + 3x + 1}{2x-1 + \sqrt[4]{3-x}}
ise A’nın değeri kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
Görselde yer alan soruları sırasıyla inceleyip adım adım çözelim:
1. Soru (Soru 13)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Gruplandırarak Ortak Çarpan Parantezine Alma: ax + bx + ay + by = (a+b)(x+y)
- İki Kare Farkı Özdeşliği: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay İfadesini Çarpanlarına Ayırma:
Pay kısmındaki terimleri ikişerli gruplandıralım:
\text{Pay} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{6} + 2
= (\sqrt{3} + \sqrt{6}) + (\sqrt{2} + 2)
= \sqrt{3}(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}(1 + \sqrt{2})
= (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)
Adım 2 — Payda İfadesini Çarpanlarına Ayırma:
Payda kısmındaki terimleri ikişerli gruplandıralım:
\text{Payda} = \sqrt{6} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{2}
= \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)
= (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)
Adım 3 — A Değerini Sadeleştirme:
Bulduğumuz çarpanları oranda yerine yazalım:
A = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}
Paydayı rasyonel yapmak için (\sqrt{2} + 1) ile genişletelim:
A = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}
Adım 4 — İstenen Çarpımı Hesaplama:
Bizden A \cdot (2\sqrt{2} - 3) çarpımı istenmektedir:
A \cdot (2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3)
İki kare farkı özdeşliğinden:
(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru (Soru 15)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Çift dereceli köklü ifadelerin reel sayı belirtme şartı:\sqrt[2n]{f(x)} \in \mathbb{R} \iff f(x) \ge 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tanım Kümesini Belirleme:
A ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için kök derecesi çift olan tüm köklerin içindeki ifadelerin 0’a eşit veya 0’dan büyük olması gerekir:
- \sqrt{2x - 6} \implies 2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3
- \sqrt[4]{3 - x} \implies 3 - x \ge 0 \implies x \le 3
Her iki eşitsizliği aynı anda sağlayan tek bir reel sayı değeri vardır:
x \ge 3 \quad \text{ve} \quad x \le 3 \implies x = 3
Adım 2 — x = 3 Değerini Yerine Yazma:
İfadede x = 3 yazarak A sayısını hesaplayalım:
A = \frac{\sqrt{2(3) - 6} + 3(3) + 1}{2(3) - 1 + \sqrt[4]{3 - 3}}
A = \frac{\sqrt{0} + 9 + 1}{6 - 1 + \sqrt[4]{0}} = \frac{10}{5} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(Not: 14. sorunun köklü çubuk uzunluk değerleri görselde ve metinde tam okunamamaktadır. İlgili sorunun net bir fotoğrafını paylaşırsan onu da memnuniyetle çözebilirim.)
Bu sorularla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
1. Soru (Soru 13)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
-
Gruplandırma:
\text{Pay} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)\text{Payda} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) -
Sadeleştirme:
A = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} -
Çarpım:
A \cdot (2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru (Soru 15)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
-
Tanım Aralığı: Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz.
2x - 6 \ge 0 \implies x \ge 33 - x \ge 0 \implies x \le 3Buradan zorunlu olarak x = 3 olur.
-
Hesaplama (x = 3 için):
A = \frac{\sqrt{0} + 3(3) + 1}{2(3) - 1 + \sqrt[4]{0}} = \frac{10}{5} = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Anlaşılmayan bir nokta var mı, pratik bir soruyla pekiştirelim mi?
@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz
13. Soru
A = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = 3 + 2\sqrt{2}
A \cdot (2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3) = (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1
CEVAP: B) -1
15. Soru
Kök içleri negatif olamayacağından:
2x - 6 \ge 0 \implies x \ge 3 \quad \text{ve} \quad 3 - x \ge 0 \implies x \le 3 \implies x = 3
x = 3 yazılırsa:
A = \frac{\sqrt{0} + 3(3) + 1}{2(3) - 1 + \sqrt[4]{0}} = \frac{10}{5} = 2
CEVAP: D) 2
Benzer bir soru daha çözmek ister misin?