A = {15, 21, x, y} kümesi ile ilgili olarak
- Elemanları pozitif tam sayılardan oluşmaktadır.
- 3 elemanlı alt kümelerinden herhangi birinin elemanları toplamı en çok 61’dir.
bilgileri veriliyor.
Buna göre, |x - y| ifadesinin değeri en çok kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 10
D) 12
E) 15
A = \{15, 21, x, y\} Kümesinde |x - y| İfadesinin En Büyük Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL VE PRENSİPLER:
- Bir kümenin elemanları birbirinden farklıdır.
- n elemanlı bir alt kümenin toplamının en küçük olması için kümenin en küçük elemanları, en büyük olması için kümenin en büyük elemanları seçilir.
- |x - y| ifadesinin en büyük değerini alabilmesi için değişkenlerden birinin en küçük (minimum), diğerinin ise en büyük (maksimum) değerini alması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değişkeninin Alabileceği En Küçük Değerin Belirlenmesi
A = \{15, 21, x, y\} kümesinde herhangi iki elemanın toplamı en az 25 olarak verilmiştir.
x < y kabul edelim ve x’in en küçük değerini bulmak için kümenin en küçük iki elemanını x ve 15 olarak seçelim:
x + 15 \ge 25
x \ge 10
Elemanlar pozitif tam sayı olduğundan x’in alabileceği en küçük değer x = 10’dur.
Adım 2 — y Değişkeninin Alabileceği En Büyük Değerin Belirlenmesi
Kümenin 3 elemanlı herhangi bir alt kümesinin elemanları toplamı en çok 61 olarak verilmiştir.
y’nin en büyük değerini bulmak için kümenin en büyük üç elemanını 15, 21 ve y olarak seçelim:
15 + 21 + y \le 61
36 + y \le 61
y \le 25
Elemanlar pozitif tam sayı olduğundan y’nin alabileceği en büyük değer y = 25’tir.
Adım 3 — Küme Şartlarının Sağlandığının Doğrulanması
Bulunan değerler için kümemiz A = \{10, 15, 21, 25\} olur:
- Elemanların tamamı farklı pozitif tam sayılardır.
- En küçük 2 elemanın toplamı: 10 + 15 = 25 \ge 25 (Şart sağlanır).
- En büyük 3 elemanın toplamı: 15 + 21 + 25 = 61 \le 61 (Şart sağlanır).
Adım 4 — |x - y| İfadesinin Hesaplanması
En küçük x = 10 ve en büyük y = 25 değerleri yerine yazıldığında:
|x - y| = |10 - 25| = |-15| = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alt Küme Elemanları Toplamı Eşitsizlikleri
- Tanım: Bir kümede alt küme toplamlarının alabileceği en küçük sınır en küçük elemanlar ile, en büyük sınır ise en büyük elemanlar ile belirlenir.
- Bu problemde: En küçük 2 eleman için x + 15 \ge 25, en büyük 3 eleman için 15 + 21 + y \le 61 eşitsizlikleri kurularak uç değerler elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kümenin Elemanlarının Farklı Olması Kuralını Unutmak
- Yanlış: x’i veya y’yi 15 ya da 21 seçerek aynı elemanı iki kez kullanmak.
- Doğru: Küme tanımı gereği tüm elemanlar birbirinden farklı olmalıdır (10, 15, 21, 25).
- Neden yanlış: Bir kümede aynı eleman birden fazla bulunamaz; aksi takdirde küme 4 elemanlı olmaktan çıkar.
Küme ve eşitsizlik sorularında sınır değerleri belirleme ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
