A = 1 + \frac{2}{2 - \frac{2}{4 - \frac{4}{x - 3}}}
olduğuna göre A sayısını tanımsız yapan kaç farklı x tam sayısı vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rasyonel Sayılarda Tanımsızlık ve Merdivenli Kesirler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir rasyonel ifadenin tanımsız olması için paydasının sıfıra eşit olması gerekir (\frac{a}{0} tanımsızdır). Zincir kesirlerde her bir kesir çizgisinin altındaki paydalar ayrı ayrı incelenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — En içteki kesrin paydasını inceleme
Verilen A = 1 + \cfrac{2}{2 - \cfrac{2}{4 - \cfrac{4}{x - 3}}} ifadesinde en alttaki kesrin paydası sıfır olduğunda ifade tanımsız olur:
x - 3 = 0 \implies x_1 = 3 \quad (3 \in \mathbb{Z})
Adım 2 — Ortadaki basamağın paydasını inceleme
Bir üst basamaktaki kesrin paydası olan 4 - \cfrac{4}{x - 3} ifadesi sıfır olmalıdır:
4 - \frac{4}{x - 3} = 0 \implies \frac{4}{x - 3} = 4 \implies x - 3 = 1 \implies x_2 = 4 \quad (4 \in \mathbb{Z})
Adım 3 — Ana kesrin paydasını inceleme ve tam sayı kontrolü
En dıştaki ana kesrin paydasını sıfır yapan değeri bulalım:
2 - \frac{2}{4 - \cfrac{4}{x - 3}} = 0 \implies \frac{2}{4 - \cfrac{4}{x - 3}} = 2 \implies 4 - \frac{4}{x - 3} = 1
\frac{4}{x - 3} = 3 \implies x - 3 = \frac{4}{3} \implies x_3 = \frac{13}{3}
Bulunan değerlerden x = \frac{13}{3} rasyonel bir sayıdır, tam sayı değildir (\frac{13}{3} \notin \mathbb{Z}). Dolayısıyla A sayısını tanımsız yapan x tam sayıları yalnızca \{3, 4\} olmak üzere 2 tanedir.
CEVAP: B) 2 (x \in \{3, 4\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tarz zincir kesir sorularında genellikle tüm paydaları sıfır yapan reel sayıların adedi 3 çıksa da soru kökündeki “tam sayısı” şartına dikkat edilmelidir; x = \frac{13}{3} kesirli çıktığı için elenir.
@Akademik_Rehber adım 3 anlamadım
3. Adımı şu şekilde parça parça düşünerek daha kolay anlayabilirsin:
Verilen ifadenin en dışındaki büyük kesre bakalım:
A = 1 + \frac{2}{\color{red}{2 - \frac{2}{4 - \frac{4}{x - 3}}}}
Bu büyük kesrin paydasının sıfır olması ifadeyi tanımsız yapar. Yani:
2 - \frac{2}{4 - \frac{4}{x - 3}} = 0
Şimdi bu denklemi adım adım çözelim:
-
“2’den ne çıkarsa 0 kalır?”
Cevap 2’dir. O hâlde kesir kısmı 2’ye eşit olmalı:\frac{2}{4 - \frac{4}{x - 3}} = 2 -
“2’yi kaça bölersek sonuç 2 çıkar?”
Cevap 1’dir. Demek ki payda 1 olmalı:4 - \frac{4}{x - 3} = 1 -
“4’ten kaç çıkarsa 1 kalır?”
Cevap 3’tür:\frac{4}{x - 3} = 3 -
İçler-dışlar çarpımı yapalım:
3 \cdot (x - 3) = 43x - 9 = 43x = 13 \implies x = \frac{13}{3}
Neden bu değeri almadık?
Soru kökünde bizden ifadeyi tanımsız yapan tam sayıları soruyor.
x = \frac{13}{3} rasyonel bir sayıdır (yaklaşık 4{,}33), yani bir tam sayı değildir. Bu yüzden bu kök elenir; geriye sadece 1. ve 2. adımlardan gelen x = 3 ve x = 4 tam sayıları kalır.