12/a - 3/5 ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değerleri kaçtır?
Verilen ifade:
\frac{12}{a} - \frac{3}{5}
Burada a bir tam sayı ve a \neq 0 olarak verilmiştir. İfadenin alabileceği farklı tam sayı değerlerini bulmamız isteniyor.
Adım 1: İfadenin tam sayı olması için koşul
\frac{12}{a} - \frac{3}{5} = \text{tam sayı}
Bunu k tam sayısı olarak yazalım:
\frac{12}{a} - \frac{3}{5} = k \implies \frac{12}{a} = k + \frac{3}{5} = \frac{5k + 3}{5}
Buradan:
12 \cdot 5 = a(5k + 3) \implies 60 = a(5k + 3)
Yani:
a = \frac{60}{5k + 3}
Burada a tam sayı olmalıdır.
Adım 2: a tam sayı olacak şekilde k değerlerini bulma
a tam sayı ise 5k + 3 sayısı 60’ı tam bölmelidir.
Yani,
5k + 3 \mid 60
Adım 3: 60’ın pozitif ve negatif bölenlerini bulma
60’ın pozitif bölenleri:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Negatif bölenler ise bunların negatifidir:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -10, -12, -15, -20, -30, -60
Adım 4: 5k + 3 = d şeklinde bölenler için k değerlerini bulma
Her bölen d için:
5k + 3 = d \implies 5k = d - 3 \implies k = \frac{d - 3}{5}
k tam sayı olmalı.
Adım 5: Bölenler için k tam sayı mı kontrolü
| d | k = \frac{d-3}{5} | k tam mı? |
|---|---|---|
| 1 | (1-3)/5 = -2/5 = -0.4 | Hayır |
| 2 | (2-3)/5 = -1/5 = -0.2 | Hayır |
| 3 | (3-3)/5 = 0 | Evet |
| 4 | (4-3)/5 = 1/5 = 0.2 | Hayır |
| 5 | (5-3)/5 = 2/5 = 0.4 | Hayır |
| 6 | (6-3)/5 = 3/5 = 0.6 | Hayır |
| 10 | (10-3)/5 = 7/5 = 1.4 | Hayır |
| 12 | (12-3)/5 = 9/5 = 1.8 | Hayır |
| 15 | (15-3)/5 = 12/5 = 2.4 | Hayır |
| 20 | (20-3)/5 = 17/5 = 3.4 | Hayır |
| 30 | (30-3)/5 = 27/5 = 5.4 | Hayır |
| 60 | (60-3)/5 = 57/5 = 11.4 | Hayır |
| -1 | (-1-3)/5 = -4/5 = -0.8 | Hayır |
| -2 | (-2-3)/5 = -5/5 = -1 | Evet |
| -3 | (-3-3)/5 = -6/5 = -1.2 | Hayır |
| -4 | (-4-3)/5 = -7/5 = -1.4 | Hayır |
| -5 | (-5-3)/5 = -8/5 = -1.6 | Hayır |
| -6 | (-6-3)/5 = -9/5 = -1.8 | Hayır |
| -10 | (-10-3)/5 = -13/5 = -2.6 | Hayır |
| -12 | (-12-3)/5 = -15/5 = -3 | Evet |
| -15 | (-15-3)/5 = -18/5 = -3.6 | Hayır |
| -20 | (-20-3)/5 = -23/5 = -4.6 | Hayır |
| -30 | (-30-3)/5 = -33/5 = -6.6 | Hayır |
| -60 | (-60-3)/5 = -63/5 = -12.6 | Hayır |
Adım 6: Geçerli d ve k değerleri
- d = 3 \Rightarrow k=0
- d = -2 \Rightarrow k = -1
- d = -12 \Rightarrow k = -3
Adım 7: Bu d değerlerine karşılık gelen a değerleri
a = \frac{60}{d}
| d | a = \frac{60}{d} |
|---|---|
| 3 | 20 |
| -2 | -30 |
| -12 | -5 |
Adım 8: İfadenin aldığı tam sayı değerleri
İfade k değerlerini alıyor, yani:
k = 0, -1, -3
Sonuç
İfadenin alabileceği farklı tam sayı değerleri 3 tanedir: 0, -1 ve -3.
Özet Tablosu
| a Değeri | İfade Değeri (k) |
|---|---|
| 20 | 0 |
| -30 | -1 |
| -5 | -3 |
Cevap: B şıkkı, yani 3 farklı tam sayı değeri alabilir.
a < 0 olduğuna göre, \displaystyle \frac{12}{a-3} ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Table of Contents
- Problemin Anlaşılması
- Çözüm Adımları
2.1 *
2.2 Bölünebilme Koşulunun İncelenmesi
2.3 Geçerli Değerlerin Listelenmesi - Sonuç ve Cevap
1. Problemin Anlaşılması
- Verilen: a<0 ve a bir tam sayıdır.
- İfade: \displaystyle \frac{12}{a-3}.
- Soru: Bu ifadenin alabileceği tam sayı sonuçlardan kaç tanesi farklıdır?
2. Çözüm Adımları
2.1 Tanım ve Koşulların Belirlenmesi
- a negatif tam sayı olduğu için a-3 de negatif tam sayı olur.
- Bir kesir ifadesinin tam sayı çıkabilmesi için paydanın, payı tam olarak bölmesi gerekir.
2.2 Bölünebilme Koşulunun İncelenmesi
\frac{12}{a-3} \; \in \mathbb{Z}
\quad\Longleftrightarrow\quad
a-3 \;\big|\; 12
12 sayısının tamsayı bölenleri:
\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm4,\;\pm6,\;\pm12.
Ancak a<0 olduğuna göre a-3< -3 olur. Bu durumda pozitif bölenler elenir.
2.3 Geçerli Değerlerin Listelenmesi
| a | a-3 | \displaystyle \frac{12}{a-3} |
|---|---|---|
| –1 | –4 | –3 |
| –3 | –6 | –2 |
| –9 | –12 | –1 |
- Diğer negatif bölenler (-1,-2,-3) için a-3=-1 olduğunda a=2>0 olduğu için geçersizdir.
- Böylece yalnızca 3 farklı tam sayı sonucu elde edilir: -3,\,-2,\,-1.
3. Sonuç ve Cevap
- \displaystyle \frac{12}{a-3} ifadesinin alabileceği farklı tam sayı değer sayısı: 3
- Doğru seçenek: D) 3