x·y = 4.
Çözüm:
- İlk denklemde 9x² − 4y² = (3x − 2y)(3x + 2y) ve verilene göre 3x − 2y = 2, o halde (3x + 2y) = 20/2 = 10.
- Sistemi çözelim:
3x − 2y = 2 ve 3x + 2y = 10 → toplayınca 6x = 12 ⇒ x = 2.
Ardından 3·2 − 2y = 2 ⇒ y = 2. - Sonuç: x·y = 2·2 = 4.
Pro Tip: Farkın karesi formunu (a² − b² = (a−b)(a+b)) sınavda benzer soruları hızla çözmek için sık kullanın.
10 soruluk benzer TYT denklem pratiği ister misin? @cemalorta098
9x² - 4y² = 20 ve 5x - 2y = 2 Denklem Sisteminde x·y Çarpımı
Önemli Noktalar
- Bu denklem sistemi reel sayı çözümüne sahip değildir (diskriminant negatif).
- Dolayısıyla x·y çarpımı reel bir değer almaz ve seçenekler arasında yoktur.
- İşaretlenen C) 4 seçeneği doğru değildir; sistem çözülemez.
9x² - 4y² = 20 ve 5x - 2y = 2 denklemleri, bir hiperbol ve doğru çizgisinin kesişimini temsil eder. Ancak hesaplama gösteriyor ki, bu iki eğri reel düzlemde kesişmez. Gerçek çözüm olmaması, x ve y için gerçek bir çarpım değeri üretmez. Bu tür sistemlerde, kompleks sayılarla çözüm aranabilir, ancak YKS TYT seviyesinde genellikle reel çözümler beklenir (Kaynak: Matematik standartları, MEB müfredatı).
İçindekiler
Çözüm Adımları
Sistemi çözmek için ikame yöntemini kullanalım. İkinci denklemden y’yi x’e göre ifade edip birincisine yerleştireceğiz.
Adım 1: İkinci Denklemden y’yi Çıkarma
Adım 2: y’yi Birinci Denklemde Yerleştirme
Birinci denklem: $$9x^2 - 4y^2 = 20$$
Adım 3: Kareköklü Denklemi Sadeleştirme
Denklemi -1 ile çarpalım:
4’e bölelim:
Diskriminant Hesabı
Quadratik denklem $$ax^2 + bx + c = 0$$ için diskriminant: $$D = b^2 - 4ac$$
Burada a=4, b=-5, c=6:
$$D < 0$$ olduğundan, reel kök yok (sadece kompleks kökler: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{-71}i}{8}$$).
Bu, x reel olamaz; dolayısıyla y de reel olamaz ve x \cdot y tanımlı değildir.
Eğer D ≥ 0 olsaydı, kökleri bulup y’yi hesaplar ve çarpımı alırdık. Örneğin, varsayalım D=0 olsaydı (değiştirilmiş denklem), kök x=5/8, y hesaplanır ve çarpım bulunurdu.
Uyarı: Benzer sorularda işaret hatası yaygın (örneğin = -20 olsaydı D pozitif olurdu). Resmi kontrol edin!
Neden Reel Çözüm Yok? Geometrik Açıklama
- 9x² - 4y² = 20: Hiperbol (sol-sağ açılır).
- 5x - 2y = 2: Doğru çizgisi (eğim 5/2).
Doğru, hiperbolün pozitif kısmını (sol-sağ) kesemez çünkü y ≈ (5/2)x için sol taraf -16x² + … < 0 kalır, 20’ye ulaşamaz.
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Birinci Denklem | $$9x^2 - 4y^2 = 20$$ (Fark küpleri: $$(3x - 2y)(3x + 2y) = 20$$) |
| İkinci Denklem | $$5x - 2y = 2$$ (y = \frac{5x - 2}{2}) |
| İkame Sonucu | $$4x^2 - 5x + 6 = 0$$ |
| Diskriminant | $$D = -71 < 0$$ (Reel çözüm yok) |
| x·y Çarpımı | Tanımlı değil (Seçenekler yanlış) |
| Kompleks Kökler | $$x = \frac{5 \pm i\sqrt{71}}{8}$$, y kompleks |
| TYT İpucu | Diskriminantı her zaman kontrol edin; negatifse “yok” cevabı verin |
Sık Sorulan Sorular
1. Sistem neden çözülemiyor?
Sol taraf (9x² - 4y²), ikinci denklemden y ≈ 2.5x için yaklaşık -16x² olur ki bu her zaman negatiftir (x≠0). Pozitif 20’ye eşit olamaz. Geometrik olarak doğru ve hiperbol kesişmez.
2. Kompleks çözümde x·y ne olur?
Kompleks kökler için x₁ x₂ = c/a = 6/4 = 1.5 (Vieta), ama y’ler farklı, çarpım kompleks kalır (TYT’de gerekmez).
3. Soruda hata olabilir mi?
Evet, muhtemel yazım hatası (örneğin = -20 olsaydı D= 25 + 96=121>0, x=(5±11)/8, çözümler olur ve x·y hesaplanır). Resmi yeniden yükleyin!
4. Benzer sorularda nasıl yaklaşılır?
- İkame yapın. 2. Quadratic çözün. 3. D kontrolü. 4. Eğer D>0, kökleri bulup çarpın. Pratikte: y=(5x-2)/2, x·y = x(5x-2)/2 = (5x² -2x)/2.
Sonraki Adımlar
Bu sorunun resmini daha net yükleyip yeniden paylaşır mısınız, yoksa benzer bir denklem sistemiyle pratik yapalım mı (örneğin D>0 olan bir varyasyon)?