100 kişilik bir odada yüzde 99 solak bu oranı yüzde 98 e düşürmek için kaç solak çıkarılmalıdır
Yüzde 99 solak oranını %98’e düşürmek için kaç kişi çıkartılmalıdır?
Cevap:
Bu problemi çözmek için oran ve sayıları matematiksel olarak kullanarak bir formül uygulayabiliriz.
1. Mevcut Solak Sayısı ve Oran
- Odadaki toplam kişi sayısı = 100
- Solak oranı = %99
- Bu durumda, solak kişi sayısı:
\text{Solak kişi} = 100 \times \frac{99}{100} = 99
2. Yeni Solak Oranı
Yeni solak oranının %98 olması isteniyor. Toplam kişi sayısı 100’den azalacak, çünkü solaklardan bazıları odadan çıkarılacak. İstenen denklem:
\text{Yeni Solak Oranı} = \frac{\text{Solak Kişi}}{\text{Yeni Toplam Kişi Sayısı}} = 98\%
Yeni toplam kişi sayısını x olarak ifade edelim (odadan çıkarılanlarla azalan toplam kişi sayısı):
\text{Solak Kişi} = \text{Yeni Toplam Kişi Sayısı} \times 98\%
3. Denklem Kurulumu
99 = x \times \frac{98}{100}
Buradan x'i çözebiliriz.
4. Çözüm
x üzerine uygulayalım:
x = \frac{99}{0.98}
x \approx 101.02
5. Kaç Solak Çıkarılmalı?
Yeni toplam 101.02 olmadığı için 101 kişi olması gereklidir
100 kişilik bir odada yüzde 99 solak bu oranı yüzde 98’e düşürmek için kaç solak çıkarılmalıdır?
Answer:
-
Mevcut bilgilere göre:
- Toplam kişi sayısı = 100
- Solak oranı = %99
- Solak kişi sayısı = 99 (çünkü %99’u 100’de 99 kişidir)
-
İstenilen yeni oran:
- Yeni solak oranı = %98
-
Matematiksel çözüm:
Solak kişi sayısı 99’dan “y” kişi çıkarıldığında kalan solak kişi sayısı (99 - y), odadaki toplam kişi sayısı 100’den “y” kişi eksildiğinde de toplam kişi (100 - y) olur.Yeni oranın %98’e (0,98) eşit olması için:
\frac{99 - y}{100 - y} = 0.98Denklemi çözelim:
99 - y = 0.98 \times (100 - y) \\ 99 - y = 98 - 0.98y \\ 99 - y + 0.98y = 98 \\ 99 - 0.02y = 98 \\ -0.02y = 98 - 99 \\ -0.02y = -1 \\ y = \frac{-1}{-0.02} = 50Yani odadan 50 solak kişi çıkarılmalıdır.
-
Kontrol:
- Yeni solak kişi sayısı = 99 - 50 = 49
- Yeni toplam kişi sayısı = 100 - 50 = 50
- Yeni solak oranı = 49 / 50 = 0.98 = %98
Dolayısıyla oran %98’e düşürülebilmesi için 50 solak çıkarılmalıdır.
100 kişilik bir odada yüzde 99 solak bu oranı yüzde 98’e düşürmek için kaç solak çıkarılmalıdır?
Cevap:
Aşağıdaki kapsamlı açıklamada, önce soruda istenen hedefleri özetleyeceğiz, sonra adım adım matematiksel yaklaşım uygulayarak sonuca ulaşacağız. Ardından solak ve sağlak kavramlarını, olasılık ve istatistik arasındaki ilişkiyi, çıkarma işleminin olası farklı senaryolarını tartışacağız. Ayrıca, gerçek hayatta bu tip yüzde değiştirme problemlerinin nasıl genellenebileceğine dair örnekler vereceğiz. Son olarak, tablolara ve derinlemesine analizlere yer vererek konuyu bütüncül bir biçimde ele alacağız.
İçindekiler
- Giriş ve Problemin Tanımı
- Temel Kavramlar
- Problemin Matematiksel Çözümü
- Farklı Olgu ve Senaryolar
- Gerçek Hayatta Uygulamalar
- Örnek Senaryolar ve Hesaplamalı Yaklaşımlar
- Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Konuya İlişkin Tablo ve Özet
- Sonuç ve Genel Değerlendirme
- Kısa Özet
1. Giriş ve Problemin Tanımı
Soruda bize şunu söylüyor: 100 kişilik bir odada bulunan kişilerin %99’u solak. Bu durumda oda içerisinde 99 solak ve 1 sağlak bulunuyor. Amaç, solak oranını %99’dan %98’e düşürmek.
Yani başlangıçta:
- Toplam kişi sayısı (T) = 100
- Solak sayısı (S) = %99 × 100 = 99
- Sağlak sayısı = 1
Yeni durumda istediğimiz şey, solak oranının %98 olmasıdır. Soruyu şu şekilde ifade edebiliriz: “(S’den x kadar kişi) çıkarıldığında, geriye kalan gruptaki solak oranı %98 olacak şekilde x ne olmalıdır?”
2. Temel Kavramlar
2.1. Solak Oranı ve Sağlak Oranı
Bir grupta solak olan bireylerin yüzdesi, toplam kişiye bölünüp 100 ile çarpılarak elde edilir.
- Formül: (Solak Sayısı / Toplam Kişi) × 100 = Solak Oranı (%)
2.2. Yüzde Kavramı
Yüzde, “her yüz birimdeki” payı anlatan, kullandığımız en temel oransal ifadedir. Söz konusu problemde de %99, 100 kişilik bir grupta 99 kişinin belirli bir özelliğe (solak olma) sahip olduğunu ifade etmektedir.
3. Problemin Matematiksel Çözümü
3.1. Adım Adım Çözüm
Problemi çözmek için şu adımları uygulayacağız:
-
Başlangıçtaki verileri belirlemek:
- Başlangıçta solak sayısı: 99
- Başlangıçta toplam kişi sayısı: 100
-
Hedeflenen solak oranı: %98.
-
Kaç kişi (x) çıkarılacak? Bu x kişi sadece solaklardan mı çıkıyor, yoksa karışık mı? Soruda “orandan bahsedildiği” ve “bu oranı değiştirmek için kaç kişi çıkarılmalı” dendiği için, genellikle solaklar çıkarılıyor varsayımıyla ilerliyoruz (metinde “kaç solak çıkarılmalı” denmiş).
-
Yeni durumda:
- Yeni solak sayısı = 99 - x
- Yeni toplam kişi sayısı = 100 - x
- Yeni solak oranı = (99 - x) / (100 - x) × 100
-
Bu yeni oranın %98 olması isteniyor, yani
$$(99 - x)/(100 - x) = 0.98$$ -
Bu denklemi çözerek x’i bulacağız.
3.2. Denklemin Kurulumu
Denklemi sadeleştirmeden önce nasıl kurulduğuna tekrar bakalım:
- Yeni solak oranı: (99 - x) / (100 - x)
- Bu oran 0.98’e (yani %98’e) eşit:\frac{99 - x}{100 - x} = 0.98
3.3. Hesaplamanın Doğrulanması
Şimdi bu denklemi çözelim:
\frac{99 - x}{100 - x} = 0.98
- İçler dışlar çarpımı:
99 - x = 0.98 \times (100 - x)
- Parantez açma:
99 - x = 98 - 0.98x
- x terimlerini bir tarafta toplayalım:
99 - x + 0.98x = 98
Burada - x + 0.98x = -0.02x olur. Dolayısıyla:
99 - 0.02x = 98
- Sabitleri diğer tarafa alalım:
-0.02x = 98 - 99
-0.02x = -1
- x’i bulalım:
x = \frac{-1}{-0.02} = \frac{1}{0.02} = 50
Sonuç olarak, x = 50 bulunur. Yani 50 solak kişi odadan çıkarılırsa geriye kalan 50 kişinin 49’u solak olacaktır (çünkü 99 solaktan 50 çıkınca 49 solak kalır). İşte bu yeni grupta:
- Yeni solak sayısı: 49
- Yeni toplam kişi sayısı: 50
- Oran: 49/50 = 0.98 → %98
Dolayısıyla kaç solak çıkarılması gerektiği sorusunun cevabı 50’dir.
4. Farklı Olgu ve Senaryolar
4.1. İnsan Sayısı Değiştiğinde
Bu soru 100 kişi için geçerli bir senaryo sunuyor. Eğer oda 200 kişi olsaydı ve örneğin %99 solak olsaydı, formül yine benzer şekilde çözülecekti; fakat rakamlar farklı çıkacaktı. Özel durumda, her zaman şu formülü uygulayabiliriz:
\frac{\text{Mevcut Solak Sayısı} - x}{\text{Toplam Kişi} - x} = \text{Arzu Edilen Oran}
4.2. Oran Farklı Değerler Aldığında
Eğer %99 yerine %97’den %96’ya çekmek isteseydik veya %99’dan %95’e çekmek isteseydik, işlem yine aynı denkleme dayanırdı. Tek fark, orana koyduğumuz 0.98 yerine 0.96 gibi günceler koymak olurdu.
5. Gerçek Hayatta Uygulamalar
5.1. Anket ve İstatistiksel Çalışmalar
Anket çalışmalarında, bir grubun belirli bir özelliğe (örneğin bir ürünü beğenme yüzdesi) sahip olma oranı düşürülmek veya yükseltilmek istendiğinde, benzer hesaplamalar üzerinden “kaç kişi” veya “ne miktarda” bir değişim gerekeceği öngörülebilir.
5.2. Denetim ve Kalite Kontrol
Üretim hatlarında örneğin “kusurlu ürün oranı” belirli bir yüzdenin altına düşürülmek isteniyorsa, hangi koşullarda kaç kusurlu ürünün ayıklanması gerektiği, benzer bir matematikle değerlendirilebilir.
6. Örnek Senaryolar ve Hesaplamalı Yaklaşımlar
6.1. Küçük Gruplar Üzerinde Uygulama
Örneğin 10 kişilik bir grupta 9 kişi solaksa (%90), bu oranı %80’e düşürmek için kaç kişi çıkarmak gerekir? Aynı denklem:
- İlk solak sayısı = 9
- Toplam kişi = 10
- Oran = %80 (0.8)
Denklem:
\frac{9 - x}{10 - x} = 0.8
Bu tip problemde x’in 1 veya 2 çıkması mümkündür; basit bir cebirle hesaplanabilir.
6.2. Büyük Gruplar Üzerinde Uygulama
Binlerce kişinin çalıştığı bir şirkette, belirli bir özelliğe sahip çalışan sayısını belli bir orana sabitlemek istediğimizde, yine benzer mantık izlenir.
7. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
- Toplam Kişi Sayısını Sabit Sanma: Bazı durumlarda insanlar, sadece solak sayısını azaltmayı düşünür, ancak toplam kişi sayısı da azalmış olur. Oysa ki merak edilen oranı değiştiren temel nokta, toplamın da azalmasıdır.
- Yanlış Oran Hesabı: Oran = (Kısmi Değer) / (Toplam Değer). Bazen bu formül karıştırılır, % hesaplamasında 100’e bölüp veya çarparken yanlışlıklar yapılabilir.
- Yuvarlama Hataları: Oran hesaplanırken 0.98 yerine 0.980… veya 98/100 sabitini kullanmak önemlidir. Basit ama kritik bir noktadır.
- Gerçek Hayatta İmkansızlık: Gerçekte 50 kişiyi “çıkarmak” ifadesi, pratikte pek de “kolay” veya “anlamlı” olmayabilir. Problem teorik bir problem olduğundan, soruya doğrudan cebirsel çözüm verilir.
8. Konuya İlişkin Tablo ve Özet
8.1. Özet Tablosu
Aşağıdaki tablo, sorunun temel bileşenlerini özetler:
| Öğe | Başlangıç Değeri | Hedef | Sonuç |
|---|---|---|---|
| Toplam Kişi (T) | 100 | Değişecek ⇒ 100 - x | Hedef: (100 - x) kişi |
| Solak Sayısı (S) | 99 | Değişecek ⇒ 99 - x | Hedef: (99 - x) kişi |
| Solak Oranı | %99 | İstenen Oran: %98 | Denklem: (99 - x) / (100 - x) = 0.98 |
| Çıkarılacak Solak Sayısı (x) | ? | Bu x’i bulmaya çalışıyoruz | x = 50 |
8.2. Matematiksel Formüller Tablosu
| Formül | Açıklama |
|---|---|
| \frac{S}{T} \times 100 = \%\text{Solak} | Solak oranının hesaplanması |
| \frac{99 - x}{100 - x} = 0.98 | Belirlenen senaryoya dair denklem |
| -0.02x = -1 \implies x = \frac{1}{0.02} = 50 | Denklemin çözüm aşaması |
9. Sonuç ve Genel Değerlendirme
Bu örnekte, 100 kişilik grupta 99 solak olduğundan, solak oranı %99’dur. Bu oranı %98’e düşürmek için, solaklar arasından 50 kişinin çıkarılması gerekir. Çıkardıktan sonra yeni durumda 50 kişi kalır ve bunların 49’u solaktır. 49 solak / 50 kişi = %98.
Bu çözüm, ilk bakışta “Neredeyse yarısı çıkarılıyor, neden bu kadar çok?” gibi gelebilir; ancak oran hesabında, toplam nüfus içindeki yüzdelik payın nasıl değiştiği kritik rol oynar. Solaklar arasından kişi çıkardıkça toplam grup da azalır, dolayısıyla beklenenden daha fazla kişiyi çıkarmak gerekebilir.
Matematiksel olarak, “bir oranın küçük bir değişimini sağlamak için kaç adet ‘birim’ çıkarmak yahut eklemek gerekir” sorusu, oransal hesaplamada sık sık benzer sonuçlar doğurur. Oran yüksek değerlerdeyken (örneğin %99), ufak bir düşüş bile nispeten yüksek miktarı çıkararak sağlanabilir.
10. Kısa Özet
• Soru: 100 kişilik bir odada %99 solak oranı (%99 ≈ 99 solak kişiye tekabül eder). Bu oranı %98’e indirmek için kaç solak çıkarmalıyız?
• Çözüm Denklem:
\frac{99 - x}{100 - x} = 0.98 \Rightarrow x = 50
• Temel Sonuç: 50 kişi çıkarılmalıdır. Böylece geriye kalan 50 kişiden 49’u solak olur ve solak oranı %98 (49/50) şeklinde gerçekleşir.
Bu tür oransal değişim problemlerinde, toplam nüfusu küçülttüğümüzde oranın nasıl hızla değiştiğini görmek, çoğu kişi için ilginç bir sürprizdir. Cebirsel yaklaşım ve doğru formül uygulayarak, istenen orana ulaşmak için kaç birim çıkarılması (veya eklenmesi) gerektiği kolayca bulunabilir.